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Ableitungsfunktion ermitteln: 10.Gym S. 125 Nr. 12
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Sa 19.05.2012
Autor: Giraffe

Aufgabe
Ermittle die Ableitgs.-Fkt. mit der h-Methode
[mm] g(x)=3^x [/mm]


Guten Abend,
bei normalen Polynom-Fkt. ist das kein Problem, aber mit [mm] 3^x [/mm] etwas problematisch.
Ich hatte das Ding schon mal am Wickel,
(Thread: Berechng. der Ableitgs.-Fkt. vom 28.03.2012)
Schachuzipus sagte, dass das mit den mir bisher bekannten Werkzeugen noch nicht möglich ist u. wie er es gemacht hat, war es mir zu hoch, ich kann ja Logarithmen noch nicht mal gut.
Ich bin da aber jetzt auf was gekommen, was total einfach ist, nur ganz am Ende mache ich schlapp.

$ [mm] \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] $

= [mm] \bruch{3^{x+h} - 3^x}{h} [/mm]

Ich schaue mir den Zähler an u. überlege:
[mm] 3^3 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm]
Ergebnis: es geht
Also

= [mm] \bruch{3^{x+h-x} - 3^x}{h} [/mm] = [mm] \bruch{3^h}{h} [/mm]

Hier könnte man doch jetzt h gegen Null streben lassen

$ [mm] \limes_{h \to \ 0 } $=\bruch{1}{ ?} [/mm]

Wie schreibe ich den Nenner? Wo bringe ich  h ungleich 0 unter?

weitere überlegt:

[mm] \bruch{3^h}{h} [/mm] =

lässt man den Zähler h gegen 0 laufen, dann lim 1
lässt man den Nenner gegen 0 laufen, wäre doch
1 geteilt durch eine klitzekleine Zahl ist doch im Ergebnis eine Zahl mit gr. Wert (denn je kleiner h desto öfter passt es doch in die 1 rein)

Und wie schreibe ich das jetzt ordentlich?
Wie kann ich diese ominöse gr. Zahl jetzt mathematisch korrekt nennen?

Für Hilfe vielen DANK
Gruß
SAbine







        
Bezug
Ableitungsfunktion ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Sa 19.05.2012
Autor: leduart

Hallo Sabine
> Ermittle die Ableitgs.-Fkt. mit der h-Methode
>  [mm]g(x)=3^x[/mm]
>  Guten Abend,
>  bei normalen Polynom-Fkt. ist das kein Problem, aber mit
> [mm]3^x[/mm] etwas problematisch.
>  Ich hatte das Ding schon mal am Wickel,
>  (Thread: Berechng. der Ableitgs.-Fkt. vom 28.03.2012)
>  Schachuzipus sagte, dass das mit den mir bisher bekannten
> Werkzeugen noch nicht möglich ist u. wie er es gemacht
> hat, war es mir zu hoch, ich kann ja Logarithmen noch nicht
> mal gut.
> Ich bin da aber jetzt auf was gekommen, was total einfach
> ist, nur ganz am Ende mache ich schlapp.
>  
> [mm]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{3^{x+h} - 3^x}{h}[/mm]
>  
> Ich schaue mir den Zähler an u. überlege:
>  [mm]3^3[/mm] - [mm]3^2[/mm]
>  Ergebnis: es geht

das versteh ich nicht

>  Also
>  
> = [mm]\bruch{3^{x+h-x} - 3^x}{h}[/mm] = [mm]\bruch{3^h}{h}[/mm]

das ist einfach falsch . 1. wie kommst du auf  [mm] 3^{x+h-x} [/mm] statt [mm] 3^{x+h} [/mm] 2. stimmt dein Ergebnis nicht.
du musst [mm] 3^x [/mm] ausklammern, dann hast du [mm] 3^x*\bruch{3^{h} - 1}{h} [/mm]
und den GW kannst du ohne genauere Kenntnisse des log nicht

> Hier könnte man doch jetzt h gegen Null streben lassen
>  
> [mm]\limes_{h \to \ 0 }[/mm][mm] =\bruch{1}{ ?}[/mm]
>  
> Wie schreibe ich den Nenner? Wo bringe ich  h ungleich 0
> unter?
>
> weitere überlegt:
>  
> [mm]\bruch{3^h}{h}[/mm] =
>
> lässt man den Zähler h gegen 0 laufen, dann lim 1
>  lässt man den Nenner gegen 0 laufen, wäre doch
> 1 geteilt durch eine klitzekleine Zahl ist doch im Ergebnis
> eine Zahl mit gr. Wert (denn je kleiner h desto öfter
> passt es doch in die 1 rein)
>  
> Und wie schreibe ich das jetzt ordentlich?
>  Wie kann ich diese ominöse gr. Zahl jetzt mathematisch
> korrekt nennen?

die waere [mm] \infty, [/mm] kommt ja aber nicht vor.
dir haette auffallen muessen, dass dein Ergebnis gar nicht von x abhaengt, und die Ableitung kann ja nicht ueberall gleich sein.
wenn du [mm] 3=e^{ln3} [/mm] schreibst kannst du es auf [mm] (e^h-1)/h [/mm] zurueckfuehren und der GW ist 1.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Ableitungsfunktion ermitteln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Sa 19.05.2012
Autor: Giraffe

Hallo leduart,
ich Dussel habe mich auch verschrieben
jetzt korrigiert

>  >  Ermittle die Ableitgs.-Fkt. mit der h-Methode
>  >  [mm]g(x)=3^x[/mm]
>  >  bei normalen Polynom-Fkt. ist das kein Problem, aber
>  >  mit  [mm]3^x[/mm] etwas problematisch.
>  >  Ich hatte das Ding schon mal am Wickel,
>  >  (Thread: Berechng. der Ableitgs.-Fkt. vom 28.03.2012)
>  >  Schachuzipus sagte, dass das mit den mir bisher
>  >  bekannten Werkzeugen noch nicht möglich ist u. wie er
>  >  es gemacht hat, war es mir zu hoch, ich kann ja
>  >  Logarithmen noch nicht mal gut.
>  >  Ich bin da aber jetzt auf was gekommen, was total einfach
>  >  ist, nur ganz am Ende mache ich schlapp.
>  >  
>  > [mm]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]

>  >  
>  > = [mm]\bruch{3^{x+h} - 3^x}{h}[/mm]

>  >  
>  > Ich schaue mir den Zähler an u. vereinfache es:

>  > [mm]3^3[/mm] - [mm]3^2[/mm] = [mm] 3^1 [/mm]

>  > Man kann also die Exponenten subtrahieren

>  >  
>  > = [mm]\bruch{3^{x+h-x}}{h}[/mm] = [mm]\bruch{3^h}{h}[/mm]

ist es jetzt immer noch falsch?
Vielleicht nicht, aber wenn du sagst

>  du musst [mm]3^x[/mm] ausklammern, dann hast du [mm]3^x*\bruch{3^{h} - 1}{h}[/mm]

dann machst du es genauso wie schachuzipus u. das kann ich noch nicht; kommt später.

> >  Wie kann ich diese ominöse gr. Zahl jetzt mathematisch

> > korrekt nennen?
>  die wäre [mm]\infty,[/mm] kommt ja aber nicht vor.

D.h. vermutl., dass ich meine Idee vergessen sollte.

> dir hätte auffallen müssen, dass dein Ergebnis gar nicht
> von x abhängt, und die Ableitung kann ja nicht überall
> gleich sein.

ach ja, bei mir ist das x rausgeflogen
okey, ich vergesse meine Idee.

>  wenn du [mm]3=e^{ln3}[/mm] schreibst kannst du es auf [mm](e^h-1)/h[/mm]
> zurückführen und der GW ist 1.

Ja, u. das kann ich noch nicht.
Ich weiß zwar, dass es drei versch. Logarithmen gibt
den mit 10
den mit euler
u. den In, von dem ich erst heute begriffen haben, dass er
ln (L wie Lachen) ist und nicht wie ich bisher glaubte In (i wie ideal)
wie gesagt, dass mache ich vielleicht im Herbst oder sogar erst nächstes Jahr.
Vielen lieben DANK dir u. einen schönen Sonntag
(soll warm werden)
Gruß
Sabine

Bezug
                        
Bezug
Ableitungsfunktion ermitteln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:53 So 20.05.2012
Autor: angela.h.b.


> >  > [mm]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]

>  >  >  
> >  > = [mm]\bruch{3^{x+h} - 3^x}{h}[/mm]

>  >  >  
> >  > Ich schaue mir den Zähler an u. vereinfache es:

>  >  > [mm]3^3[/mm] - [mm]3^2[/mm] = [mm]3^1[/mm]

>  >  > Man kann also die Exponenten subtrahieren

Hallo,

mal abgesehen davon, daß es prinzipiell gewagt ist, Rechenregeln aus einem einzigen Beispiel abzuleiten:

es ist [mm] 3^3-3^2=27-9=18\not=3... [/mm]


>  >  >  
> >  > = [mm]\bruch{3^{x+h-x}}{h}[/mm] = [mm]\bruch{3^h}{h}[/mm]

>  ist es jetzt immer noch falsch?

Ja.

>  Vielleicht nicht, aber wenn du sagst
>  >  du musst [mm]3^x[/mm] ausklammern, dann hast du [mm]3^x*\bruch{3^{h} - 1}{h}[/mm]

Ja. Hier wurden dann die Rechenregeln (Rechnen mit Potenzen) richtig angewendet.

LG Angela

>  
> dann machst du es genauso wie schachuzipus u. das kann ich
> noch nicht; kommt später.



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