Ableitungen von ln-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 22.01.2005 | | Autor: | scrat |
Hallo,
ich schlage mich hier schon seit geraumer Zeit mit Ableitungen von ln-Funktionen herum.
Im speziellen geht es um die Formel:
[mm] \bruch{ln(3x)^2}{x}
[/mm]
Also als erstes weiß ich das die Ableitung einer ln-funktion so aussieht:
f(x) = ln(u(x)
f'(x) = [mm] \bruch{u'(x)}{u(x)}
[/mm]
Ich muss zudem noch die Kettenregel anweden wegem dem Quadrat, ich komme also, wenn ich den Zähler ableite auffolgendes:
2 * ln(3x) * 1/x
Stimmt der schritt bis hierhin?
Jetzt müsste ich bloß noch die Quotientenregel anwenden, jedoch komm ich nicht auf die Lösung:
f'(x) = [mm] \bruch{ln(3x)+(2-ln(3x))}{x^2}
[/mm]
Wo liegt da mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe auch ein Posting hier im Forum gefunden, auch verstanden ,was dort erklärt wurde. Jedoch komme ich absolut nicht mit meiner Aufgabe klar.
Gruss Scrat
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Ich muss dich leider enttäuschen, aber ich habe keinen wirklichen Fehler gefunden.
Nur ganz zum Schluß stimmt die ausgeklammerte Version der Ableitung nicht so ganz, ich halte das für nen Schreibfehler:
> f'(x) = [mm]\bruch{ln(3x)+(2-ln(3x))}{x^2}[/mm]
Wenn man sich die Quotientenregel zusammengebastelt hat, dann sieht es so aus: [mm]f'(x)=\bruch{2 \cdot ln(3x) - ln^2(3x)}{x^2}[/mm]
Wenn man im Zähler noch einmal den Faktor [mm]ln(3x)[/mm] ausklammert, dann hat man [mm]f'(x)=\bruch{ln(3x) \cdot (2 - ln(3x))}{x^2}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Sa 22.01.2005 | | Autor: | scrat |
Hallo,
vielen danke für die schnelle Hilfe.
ich habe soweit dann alles nachvollzeichen können. Jedoch frage ich mich noch, wie ich auf [mm] ln^2(3x) [/mm] komme beim Anwenden der Quotientenregel. Ich komme bloß auf:
[mm] \bruch{2*ln(3x)-ln(3x)^2}{x^2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Sa 22.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Ich bin einfach davon ausgegangen, dass deine Schreibweise [mm]ln(3x)^2[/mm] dasselbe bedeuten soll wie [mm](ln(3x))^2[/mm], und das kann man auch umschreiben als [mm]ln^2(3x)[/mm].
Mehr steckt nicht dahinter.
Macht man z.B. bei sin-cos-Funktionen genauso. Die Gleichung [mm](sin(x))^2+(cos(x))^2=1[/mm] dürfte dir bekannt sein. Die kannst du oft auch in der Form [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm] lesen.
Ein Unterschied wäre nur, wenn sich das [mm]...^2[/mm] nicht auf den [mm]ln[/mm], sondern auf das [mm]3x[/mm] beziehen würde, wenn also eigentlich in der Aufgabe gemeint wäre: [mm]ln((3x)^2)=ln(9x^2)[/mm]. Aber davon geh ich hier nicht aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Sa 22.01.2005 | | Autor: | dominik |
Vorsicht!
> Ich bin einfach davon ausgegangen, dass deine Schreibweise
> [mm]ln(3x)^2[/mm] dasselbe bedeuten soll wie [mm](ln(3x))^2[/mm], und das
> kann man auch umschreiben als [mm]ln^2(3x)[/mm].
> Mehr steckt nicht dahinter.
Doch! Das ist nicht richtig. Achte auf die letzte Operation:
Bei [mm]ln(3x)^2[/mm] ist die letzte Operation "[mm]ln[/mm]", bei [mm][ln(3x)]^2[/mm] ist es "[mm](...)^2[/mm]":
Reihenfolge der Operationen:
In [mm]ln(3x)^2[/mm]: [mm]x \to 3*x \to (3x)^2=9x^2 \to ln[(3x)^2]=ln(3x)^2=ln[9x^2][/mm].
Beim Term [mm] (ln(3x))^2 [/mm] sieht es hingegen folgendermassen aus:
[mm]x \to 3*x \to ln(3x) \to [ln(3x)]^2[/mm]
Beide Terme unterscheiden sich also dadurch, dass beim ersten zuerst quadriert und dann logarithmiert wird und beim zweiten umgekehrt: zuerst wird logarithmiert und erst nachher quadriert.
[mm]ln(3x)^2[/mm] kann folgendermassen umgeformt werden:
[mm]ln(3x)^2=2*ln(3x)=2*(ln(3)+ln(x))[/mm]
Es gilt also:
[mm]ln(3x)^2 \not= (ln(3x))^2=ln^2(3x)[/mm].
Achte auf die letzte Operation!
Im zweiten und dritten Term steht das Gleiche. Der Exponent 2 bezieht sich auf den Logarithmus: Der Lagarithmus wird quadriert.
Der dritte Term stellt eine abgekürzte Schreibweise des zweiten dar.
> Macht man z.B. bei sin-cos-Funktionen genauso. Die
> Gleichung [mm](sin(x))^2+(cos(x))^2=1[/mm] dürfte dir bekannt sein.
> Die kannst du oft auch in der Form [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
> lesen.
Ja, das sehe ich auch so!
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 So 23.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Naja, ich kannst die Schreibweise [mm]ln(3x)^2[/mm] bis jetzt immer nur als 'schlampige Version' von [mm]ln^2(3x)[/mm].
Für den anderen Fall, wie du's beschrieben hast, hätte ich noch ne zusätzliche Klammer gesetzt, um es eindeutig zu machen.
Naja, scrat kann sich die richtige Version ja jetzt raussuchen 
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