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| Aufgabe | | Ableitungen nach der Produkt und Kettenregel |
Hallo,
hoffentlich kann mir jemand erklären wie man richtig ableitet.
Ich habe folgende Funktion:
[mm] f(x)=x^2*lnx
[/mm]
Nach der uv-Regel leite ich es folgendermaßen ab:
[mm] f`(x)=2x*lnx+x^2*1/x
[/mm]
zusammengefasst:
f`(x)= 2x*lnx+x
aber die zweite Ableitung verstehe ich nicht.
u`= 2
v = lnx+x
u = 2x
v`= 1/x+1
und müsste f``(x)= 2*lnx+x+2x*1/x+1 ergeben
also 2*lnx+4 (weil x+2x*1/x= 3 +1 = 4)
Leider stimmt das aber nicht.
Bei der Funktion [mm] x^2*(lnx-1)
[/mm]
ist es so ähnlich
f`(x) = [mm] 2x*lnx-1+x^2*1/x
[/mm]
ist bei mir zusammengefasst:
2x*lnx-1+x
kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
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Hi, Claudia,
> Ich habe folgende Funktion:
> [mm]f(x)=x^2*lnx[/mm]
> Nach der uv-Regel leite ich es folgendermaßen ab:
> [mm]f'(x)=2x*lnx+x^2*1/x[/mm]
> zusammengefasst:
> f'(x)= 2x*lnx+x
Richtig!
> aber die zweite Ableitung verstehe ich nicht.
> u'= 2
> v = lnx+x
Falsch! Das Produkt, das Du mit PR ableitest, ist lediglich 2x*ln(x).
Das "+x" gehört nicht zum Produkt und wird "extra abgeleitet": Ableitung =1.
Also: g(x) = 2x*ln(x); g'(x) = 2*ln(x) + [mm] 2x*\bruch{1}{x} [/mm] = 2*ln(x) + 2.
Gesamte Ableitung: f''(x) = 2*ln(x) + 2 + 1 = 2*ln(x) + 3.
> u = 2x
> v'= 1/x+1
> und müsste f''(x)= 2*lnx+x+2x*1/x+1 ergeben
> also 2*lnx+4 (weil x+2x*1/x= 3 +1 = 4)
Hinweis zu Deiner Klammer: "Punkt vor Strich" beachten!
x + 2x*1/x = x + 2 (!!!)
Zwar vorher schon falsch (siehe oben!), aber das macht's NOCH SCHLIMMER!
> Bei der Funktion [mm]x^2*(lnx-1)[/mm]
> ist es so ähnlich
> f'(x) = [mm]2x*lnx-1+x^2*1/x[/mm]
> ist bei mir zusammengefasst:
> 2x*lnx-1+x
> kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
Hier probierst Du's nun gleich selbst nochmal! (Und achte auf Klammern!)
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
danke für die schnelle Antwort.
Ich muss mir das mal irgendwann falsch eingeprägt haben.
Denn wenn die Produktregel (uv)´= u´v+uv' ist ,
verstehe ich nicht, warum bei v nicht mehr alles stehen darf:
> u'= 2
> v = lnx+x
Falsch! Das Produkt, das Du mit PR ableitest, ist lediglich 2x*ln(x).
hier schreibst du auch abgeleitet, aber isses doch noch gar nicht.
Das "+x" gehört nicht zum Produkt und wird "extra abgeleitet": Ableitung =1.
und dann bei v'doch wieder alles beachtet wird =
> u = 2x
> v'= 1/x+1
Viele Grüße Claudia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo claudia77!
Die Produktregel wendet man nur bei Produkten an, deshalb ja auch dieser Name. Bei der zweiten Ableitung erkennt man, dass sie insgesamt aus drei Funktionen besteht.
[mm] $f'(x)=\green{2x}*\red{\ln(x)}+\blue{x}$
[/mm]
Unsere einzelnen Funktionen sind also:
[mm] $\green{g(x)=2x}$
[/mm]
[mm] $\red{r(x)=\ln(x)}$
[/mm]
[mm] $\blue{b(x)=x}$
[/mm]
Also können wir $f'$ auch so schreiben:
$f'(x)=g(x)*r(x)+b(x)$
Jetzt sagen wir noch, dass p(x)=g(x)*r(x), also steht dort
$f'(x)=p(x)+b(x)$.
Nach der Summenregel gilt nun für die Ableitung von $f'$:
$f''(x)=p'(x)+b'(x)$
Da $b(x)=x$, ist die Ableitung $b'(x)=1$.
Die Funktion p(x) ist ein Produkt zweier Funktionen und muss daher mit der Produktregel abgeleitet werden - es ist hier aber offensichtlich, dass die Produktregel nicht auf b(x) angewendet wird!
Ich hoffe, jetzt ist es klarer, wo dein Problem liegt.
Liebe Grüße
Seppel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 29.05.2006 | | Autor: | claudia77 |
Hi Seppel,
Vielen Dank!
Endlich habe ich es verstanden.
Viele Grüße Claudia
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