Ableitungen u Stammfunktionen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | Ableitung bilden:
[mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{tan(x)}
[/mm]
Stammfunktion von:
f(x)=tan²(x)
und
[mm] f(x)=\bruch{1}{sin(x)*cos(x)} [/mm] |
Lerne grade für meine Arbeit und komm bei den Aufgaben mal wiede rnicht weiter.
Wie komme ich auf die ABleitung? mit der quotientenregel komm ich nicht hin.
und bei den stammfunktionen habe ich auch kaum einen ansatz, außer dass ich bei der 2. probiert habe, die eins durch sin² + cos² zu ersetzen, wobei dann letztendlich tan(x) + [mm] \bruch{1}{tan(x)} [/mm] rauskäme.
aber wie bilde ich davon dann die ableitungen??
bin bei trigonometrischen funktionen total verunsichert....
lg
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Ableitung: einfach Quotientenregel anwenden.
1. Integral: Substituiere t = tanx (ist doch naheliegend- oder?) Dann ist dt/dx = 1 + [mm] tan^{2}x [/mm] und damit dt =(1 + [mm] tan^{2}x)dx.
[/mm]
Wäre im letzten Ausdruck nicht die 1 vorhanden, so könntest du sofort den integranden durch dt ersetzen. Deshalb:
[mm] \integral{tan^{2}x dx}=\integral{(1+tan^{2}x) dx}-\integral{1 dx}= \integral{t dt}-\integral{1 dx}=t-x [/mm] = tanx-x
Durch Ableiten bestätigst du die Richtigkeit.
3. Aufgabe:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
> 1. Integral: Substituiere t = tanx (ist doch naheliegend-
> oder?) Dann ist dt/dx = 1 + [mm]tan^{2}x[/mm] und damit dt =(1 +
> [mm]tan^{2}x)dx.[/mm]
aber wieso denn 1+ tan²(x)?
> Wäre im letzten Ausdruck nicht die 1 vorhanden, so
> könntest du sofort den integranden durch dt ersetzen.
> Deshalb:
>
> [mm]\integral{tan^{2}x dx}=\integral{(1+tan^{2}x) dx}-\integral{1 dx}= \integral{t dt}-\integral{1 dx}=t-x[/mm]
> = tanx-x
und wieso kann ich hier statt 1+tan²(x) auf einmal "t" schreiben? dachte das t wurde durch das tan(x) ersetzt?
> Durch Ableiten bestätigst du die Richtigkeit.
>
> 3. Aufgabe:
zu aufgabe 3 brauch ich immernoch hilfe...(von irgendwem ;) )
danke schonmal !!!
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Hast du dich noch nie gewundert, warum beim Integral immer hinter der Funktion noch dx steht? Das kann man nicht weglassen, denn wenn man substituiert, muss man das dx auch substituieren, und zwar nach folgender Regel:
[mm] \integral [/mm] {f(x) dx} ist gegeben, du setzt t = f(x) (oft auch nur einen Teil von f).
Dann gilt grundsätzlich: dt/dx (sprich: "de te nach de icks")= f'(x) (Ableitung von f nach x). Dies ist der Knackpunkt bei der Substitution!
Du stellst nun den Bruch um und erhältst dt = f'(x)*dx.
im Integral wird jetzt nicht nur f(x) durch t ersetzt, sondern auch dx durch dt/f'(x). Man kann dann erst (nach t) integrieren, wenn das x überall verschwunden ist und nur noch t als Variable auftritt.
Da die Ableitung von tan(x) (s. Formelsammlung) [mm] tan^{2}x [/mm] + 1 ist, ergibt sich meine Herleitung.
Bei der 3. Aufgabe kommt ln(tan(x)) heraus. Der von mir gefundene Weg ist sehr kompliziert: Setze t = sin(x). Nach der Substitution taucht [mm] cos^{2}x [/mm] im Nenner auf und wird durch [mm] 1-sin^{2}x [/mm] ersetzt, [mm] sin^{2}x [/mm] durch [mm] t^{2}. [/mm] Danach noch mal r = [mm] t^{2} [/mm] substituieren, den Bruch in Partialbrüche zerlegen und einzelnd integrieren. Ein bisschen heftig - oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
Danke, dass macht mir einiges klarer.
klar habe ich mich schon gewundert, was das dx da soll, aber´dass das nach dieser regel verändert wird, davon habe ich noch nie was gehört. und eigentlich bin ich mir auch ziemlich sicher, dass wir das nicht gemacht haben, höchstens ich war nicht anwesend.
jetzt kann ich die antwort nochmal aus gaz anderer perspektive lesen. ich hoffe ich verstehe es jetzt ;)
danke !!
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