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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 30.08.2004 | | Autor: | nora |
ich hab ein paar fragen zu ableitungen:
zb. f(x)=(x-3)²
f(x)=3wurzelx....-x(hoch 4)= da muss man doch dann 3*1/2 nehmen, dann sind das 1,5x(-0,5)-4x³.. richtig?
f(x)=x/2-2/x
f(x)=5/x-1/x(hoch 2) ..also nur das x.
f(x)=x²+1/x
wir haben bis jetzt, mein ich, ableitungen nie mit brüchen gemacht. aber naja, nachher kommts trotzdem dran. sicher ist sicher.
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Hallo!
Die einzelnen Schritte sind:
[mm]((x-3)^{2})^{\prime}=2(x-3)^{2-1}(x-3)^{\prime}=2(x-3)((x)^{\prime}-(3)^{\prime})=2(x-3)(1-0)=2(x-3)[/mm]
[mm](3\wurzel{x}-x^{4})^{\prime}=(3x^{\bruch{1}{2}}-x^{4})^{\prime}=3(x^{\bruch{1}{2}})^{\prime}-(x^{4})^{\prime}=3*\bruch{1}{2}*x^{\bruch{1}{2}-1}-4*x^{4-1}=\bruch{3}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}-4*x^{3}=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}}-4*x^{3}[/mm]
[mm]\left(\bruch{x}{2}-\bruch{2}{x}\right)^{\prime}=\bruch{1}{2}*(x)^{\prime}-2*(x^{-1})^{\prime}=\bruch{1}{2}-2*(-1)*x^{-1-1}=\bruch{1}{2}+\bruch{2}{x^{2}}[/mm]
[mm]\left(\bruch{5}{x}-\bruch{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=(5*x^{-1}-x^{-2})^{\prime}=5*(-1)*x^{-2}-(-2)*x^{-3}=-\bruch{5}{x^{2}}+\bruch{2}{x^{3}}[/mm]
Ich hoffe, jetzt kommst du zurecht. 
Schöne Grüße
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 30.08.2004 | | Autor: | nora |
hey, danke
nur ich versteh einzelne schritte nich. zb. beim letzten.. $ [mm] \left(\bruch{5}{x}-\bruch{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=(5\cdot{}x^{-1}-x^{-2})^{\prime}=5\cdot{}(-1)\cdot{}x^{-2}-(-2)\cdot{}x^{-3}=-\bruch{5}{x^{2}}+\bruch{2}{x^{3}} [/mm] $
da versteh ichs ab hier nicht -> ... -(-2)*x^-3.. wieso rechnest du das da? das davor ist mir klar, nur das letzte halt nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mo 30.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo nora,
Du kannst ja bei Polynomen schreiben: [mm] $\bruch{1}{x^2} [/mm] = [mm] x^{-2}$, [/mm] das sind gleichbedeutende Ausdrücke, und Polynome leitest Du ab, indem Du den Exponenten um eins senkst und den Ausdruck damit multiplizierst:
[mm] $(x^n)' [/mm] = [mm] n*x^{n-1}$, [/mm] das kannst Du praktisch mit allen Zahlen machen, ausser vielleicht mit $n=0$, da gibts dann noch was spezielles, was aber im Moment nicht wichtig ist.
[mm]\left(\bruch{5}{x}-\bruch{1}{x^{2}}\right)^{\prime}=(5\cdot{}x^{-1}-x^{-2})^{\prime}=5\cdot{}(-1)\cdot{}x^{-2}-(-2)\cdot{}x^{-3}=-\bruch{5}{x^{2}}+\bruch{2}{x^{3}}[/mm]
> da versteh ichs ab hier nicht -> ... -(-2)*x^-3.. wieso
Wenn Du jetzt den Ausdruck [mm] $-x^{-2}$ [/mm] ableiten sollst, dann geht das wie oben mit dem $n$ (das -1 kann man ja ausklammern): [mm] $(-x^n)' [/mm] = [mm] -(x^n)' [/mm] = [mm] -n*x^{n-1}$ [/mm] mit $n=-2$ ist das dann gerade: [mm] $-(-2)*x^{(-2)-1} [/mm] = [mm] 2*x^{-3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x^3}$.
[/mm]
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Di 31.08.2004 | | Autor: | Mikel |
Hallo Nora,
Deine Frage befasst sich mit der Ableitung der Wurzelfunktion. Dazu eine Frage an Dich:
Hast Du Dich schon mit der Kettenregel befasst? Die musst du Dir sehr gut einprägen, wenn du Wurzelterme ableiten musst.
Eine einfache Wurzelfunktion, z. B. [mm] $\wurzel[3]{x^1}$ [/mm] lässt sich noch mithilfe der Potenzregel leicht ableiten:
Dazu wir der Wurzelterm zunächst umgewandelt
f(x) = [mm] $\wurzel[q]{x^p}$ \rightarrow\ [/mm] f(x) = [mm] $x^\bruch{p}{q}$
[/mm]
Beispiel: f(x) = [mm] $\wurzel[3]{x^1}$ [/mm] = [mm] $x^\bruch{1}{3}$
[/mm]
Jetzt können wir ableiten
f(x) = [mm] $x^\bruch{p}{q}$ \rightarrow\ [/mm] f(x) = [mm] $\bruch{p}{q} \cdot{}x^\bruch{p}{q}^{-1} [/mm] $ [mm] \rightarrow\ [/mm] f(x) = [mm] $\bruch{1}{3} \cdot{}x^\bruch{1}{3}^{-1}$ [/mm] = [mm] $\bruch{1}{3}\cdot{}x^-^\bruch{2}{3}$
[/mm]
Bei einem komplizierteren Term unter dem Wurzelzeichen z. B. f(x) [mm] =$\wurzel{3x+2}$
[/mm]
lässt sich die Funktion nicht mehr so einfach ableiten wie ich oben gezeigt habe .
In diesem Fall muss die Kettenregel angewendet werden. Die Funktion f(x) [mm] =$\wurzel{3x+2}$ [/mm] kann als eine Verkettung von z. B. zwei verschiedenen Funktionen angesehen werden, die dann aus einer äußeren Funktion (a: a(x) = [mm] $\wurzel[q]{x^p}$ [/mm] = [mm] $x^\bruch{p}{q}$ [/mm] und einer inneren Funktion (i: i(x) = 3x+2 besteht, also:
(f = a ° i (gelesen: f ist die Verkettung von a mit i)
f(x) = a(i(x))
Die Kettenregel lautet:
f(x) = a(i(x)) [mm] \rightarrow\ [/mm] f(x) = [mm] a(i(x))$\cdot{}$I(x)
[/mm]
In Worten:
Äußere Ableitung (innere Funktion wird dabei unverändert übernommen) mal innere Ableitung.
Dazu ein konkretes Beispiel aus Deinem posting vom 30.08. 15:33:
ich hab ein paar fragen zu ableitungen:
zb. f(x)=(x-3)²
Also f(x)=(x-3)²
Als Wurzelterm geschrieben würde der Term so aussehen f(x) = [mm] $\wurzel{x-3}$
[/mm]
[mm] \rightarrow\ [/mm] f(x)=(x-3)²
Die Ableitung unter (Anwendung der Kettenregel!) ist dann:
[mm] \rightarrow\ [/mm] f(x) = [mm] a(i(x))$\cdot{}$I(x)
[/mm]
[mm] \rightarrow\ [/mm] f(x) = [mm] 2(x-3)^{2-1} \cdot{}i'(x) [/mm] = [mm] 2(x-3)\cdot{}i'(x) [/mm] = [mm] 2(x-3)\cdot{}1
[/mm]
= 2x-6
Also ist die Ableitung von f(x) = [mm] $\wurzel{x-3}$ \rightarrow\ f(x)=(x-3)²\rightarrow\ [/mm] f'(x) = 2x-6
Aber wie kann man sichergehen, dass f(x) = 2x-6 auch wirklich die Ableitung der obigen Wurzelfunktion ist?
Die Ausgangsfunktion lautete ja f(x) = [mm] $\wurzel{x-3}$ \rightarrow\ [/mm] f(x)=(x-3)²
Dazu zerlegen wir f(x)=(x-3)² (2. Binomische Formel) in Faktoren und erhalten
f(x) = (x-3)(x-3) = x²-6x+9
Summen von Potenzfunktionen (hier: x²-6x+9) können direkt einzeln abgeleitet werden, also:
f(x) = x²-6x+9 [mm] \rightarrow\ [/mm] f(x) = 2x-6 (siehe oben)
womit die Kettenregel bewiesen ist.
Die Anwendung der Kettenregel erspart uns das umständliche Faktorisieren, Ausklammern und dann erst das gliedweise ableiten.
Schönen Gruß
Mikel
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