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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion, dass für f(x)=arcsin(x) mt g(y)=sin(y) gilt.
[mm] f'(x)=f(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] |
Ich habe einfach ein kleines Verständnisproblem. Was soll hier genau gezeigt werden? Das die Ableitung von [mm] arcsin(x)=f'(x)=f(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mit Hilfe der Formel für die Ableitung der
> Umkehrfunktion, dass für f(x)=arcsin(x) mt g(y)=sin(y)
> gilt.
>
Hallo, ich bins, der Fred,
> [mm]f'(x)=f(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
Das soll wohl lauten: [mm]f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> Ich habe einfach ein kleines Verständnisproblem. Was soll
> hier genau gezeigt werden? Das die Ableitung von
> [mm]arcsin(x)=f'(x)=f(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] ist?
Du sollst zeigen: ist f(x)=arcsin(x), so ist
[mm]f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm].
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Zeigen Sie mit Hilfe der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion, dass für f(x)=arcsin(x) mt g(y)=sin(y) gilt.
Ja es sollte nur f'(x) sein.
Ich glaube dann habe ichs verstanden. arcsin(x)=y
siny=x
Ableiten:
cos(y)*(y)'=1
Auflösen:
[mm] y'=\bruch{1}{cosy}
[/mm]
Trig. Identität ausnützen:
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm]
[mm] cosy=\wurzel{1-sin^2(y)}
[/mm]
Vereinfachen:
[mm] y'=\bruch{1}{\wurzel{1-sin(arcsin(x))^2}}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Ist der Fred damit einverstanden?
Danke und liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mit Hilfe der Formel für die Ableitung der
> Umkehrfunktion, dass für f(x)=arcsin(x) mt g(y)=sin(y)
> gilt.
>
> Ja es sollte nur f'(x) sein.
>
> Ich glaube dann habe ichs verstanden. arcsin(x)=y
>
> siny=x
>
> Ableiten:
>
> cos(y)*(y)'=1
>
> Auflösen:
>
> [mm]y'=\bruch{1}{cosy}[/mm]
>
> Trig. Identität ausnützen:
>
> [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
>
> [mm]cosy=\wurzel{1-sin^2(y)}[/mm]
>
> Vereinfachen:
>
> [mm]y'=\bruch{1}{\wurzel{1-sin(arcsin(x))^2}}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
> Ist der Fred damit einverstanden?
Na ja. Der Fred hat 2 Kritikpunkte:
1. auf welchem Intervall kehrst Du den Sinus um ?
2. auf welchem Intervall ist dann die Umkehrfunktion f definiert ? Und wo ist f differenzierbar ?
FRED
>
> Danke und liebe Grüße
>
> Rzeta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Also vom Definitionsbereich stand nichts in der Aufgabe. Ich würde sagen sin(x) nimmt aber nur Werte (Zielmenge) [-1,1] an. Die Definitionsmenge ist [mm] D=\IR [/mm] wenn ich mir das jetzt richtig überlegt habe.
f(x)=sin(x) ist doch überall differenzierbar oder?
Wenn ich mir jetzt die arkussinus Funktion anschaue dann hat diese ja genau eben die Zielmenge als Definitionsbereich bzw. (-1,1).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also vom Definitionsbereich stand nichts in der Aufgabe.
Glaub mir, ich bins der Fred, der Aufgabensteller ist ein Schlamper !
> Ich würde sagen sin(x) nimmt aber nur Werte (Zielmenge)
> [-1,1] an. Die Definitionsmenge ist [mm]D=\IR[/mm] wenn ich mir das
> jetzt richtig überlegt habe.
Ja, aber auf [mm] \IR [/mm] ist der sinus nicht umkehrbar. Üblicherweise schränkt man den Sinus auf des Intervall $I:=[ - [mm] \bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}]$ [/mm] ein. Diese Einschränkung bildet das Intervall I bijektiv auf [-1,1] ab.
Die Umkehrfunktion dieser Einschränkung ist der arcsin. Also
arcsin:[-1,1] [mm] \to [/mm] I.
>
> f(x)=sin(x) ist doch überall differenzierbar oder?
Ja, das stimmt. Aber der arcsin ist nur auf (-1,1) differenzierbar. Warum ?
FRED
>
> Wenn ich mir jetzt die arkussinus Funktion anschaue dann
> hat diese ja genau eben die Zielmenge als
> Definitionsbereich bzw. (-1,1).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
"Glaub mir, ich bins der Fred, der Aufgabensteller ist ein Schlamper !" Darf ich das so auf den Evaluationsbogen schreiben? Der Dozent hält nämlich auch eine grottenschlechte Vorlesung.
"Ja, das stimmt. Aber der arcsin ist nur auf (-1,1) differenzierbar. Warum ?"
Naja wenn ich mir den Nenner so anschaue dann wird er bei werten >1 oder <-1 imaginär und bei x=1, x=-1 null. Also erscheint mir logisch das der arcsin nur im Intervall (-1,1) differenzierbar.
Geometrisch würde ich das so deuten das ich ja schlecht die Steigung der Tangente an Punkten berechnen kann die überhaupt nicht auf der arcsin Funktion liegen (das ist wahrscheinlich jetzt sehr salopp ausgedrückt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> "Glaub mir, ich bins der Fred, der Aufgabensteller ist ein
> Schlamper !" Darf ich das so auf den Evaluationsbogen
> schreiben?
Nur zu !
>Der Dozent hält nämlich auch eine
> grottenschlechte Vorlesung.
Das kratzt den wahrscheinlich nicht.
>
> "Ja, das stimmt. Aber der arcsin ist nur auf (-1,1)
> differenzierbar. Warum ?"
>
> Naja wenn ich mir den Nenner so anschaue dann wird er bei
> werten >1 oder <-1 imaginär und bei x=1, x=-1 null. Also
> erscheint mir logisch das der arcsin nur im Intervall
> (-1,1) differenzierbar.
Na, ja.
Ist f(x)=arcsin(x), so untersuche ob der Limes für [mm] x_0 \in \{1,-1\}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
existiert.
>
> Geometrisch würde ich das so deuten das ich ja schlecht
> die Steigung der Tangente an Punkten berechnen kann die
> überhaupt nicht auf der arcsin Funktion liegen (das ist
> wahrscheinlich jetzt sehr salopp ausgedrückt)
Die Tangente in [mm] x_0 \in \{1,-1\} [/mm] steht senkrecht auf der x-Achse !!
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}arcsin(x)=-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}arcsin(x)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Bin mir aber nicht ganz sicher wie ich das interpretieren soll. Die Steigung der Tangente wenn x gegen {-1,1} geht ist [mm] -+\bruch{\pi}{2}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mi 05.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
nein, das ist nicht die richtige Interpretation; du berechnest ja nicht den Grenzwert der Sekantensteigung.
Fred's Vorschlag war doch etwa
$ [mm] \limes_{x\nearrow 1}\bruch{\arcsin(x)-\pi/2}{x-1} [/mm] $ zu untersuchen.
Liebe Grüße
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