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Forum "Differentiation" - Ableitung x^(x^lnx)
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Ableitung x^(x^lnx): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Di 12.01.2010
Autor: oli_k

Hallo,

also die Ableitung von x^lnx habe ich bereits per Kettenregel bestimmt: [mm] x^{ln(x)}*\bruch{2ln(x)}{x} [/mm]

Nun gilt es x^ davon abzuleiten.

Ansatz:
[mm] u(v)=x^{v} [/mm]
[mm] v(x)=x^{ln(x)} [/mm]

Wie stelle ich hier u(x) korrekterweise auf? [mm] u(x)=x^{x} [/mm] würde doch bedeuten, dass ich das Ergebnis von v für beide x einsetze, aber das ist ja nicht gewünscht.

Wie bilde ich nun also u'?

Danke!
        
Bezug
Ableitung x^(x^lnx): Definition von a^x verwenden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Di 12.01.2010
Autor: dawu

Hi oli!

Ich bin mir nicht sicher, ob du das schon verwendest hast, aber die Definition von [mm] $a^x$ [/mm] hilft dir sicherlich weiter:

[mm] $a^x [/mm] := [mm] e^{x \cdot \ln(a)}$ [/mm]

Mithilfe dieser Definition kannst du erst mal die ganzen Potenzen in $e$-Funktionen umschreiben und dann sicherlich einfach mit der Kettenregel weitermachen.

Viel Erfolg!
dawu
Bezug
                
Bezug
Ableitung x^(x^lnx): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Di 12.01.2010
Autor: oli_k

Ja - das ist ja nichts neues ;) Genau damit habe ich ja auch die erste Teilfunktion abgeleitet.

Aber wie weitermachen?
Bezug
                        
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Ableitung x^(x^lnx): erst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Di 12.01.2010
Autor: Loddar

Hallo oli!


Wenn Du den ersten Schritt mit [mm] $x^{\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln^2(x)}$ [/mm] konntest, sollte der zweite nicht zu schwer sein:

[mm] $$x^{x^{\ln(x)}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln\left[x^{x^{\ln(x)}}\right]} [/mm] \ = \ [mm] e^{x^{\ln(x)}*\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{e^{\ln^2(x)}*\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(x)*e^{\ln^2(x)}}$$ [/mm]
Nun schön mittels MBKettenregel und MBProduktregel ableiten.


Gruß
Loddar

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Ableitung x^(x^lnx): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Di 12.01.2010
Autor: oli_k

So, also folgendes?

[mm] e^{ln(x)*e^{ln^2(x)}}*(ln(x)*e^{ln^2(x)})' [/mm]

(Produktregel: 1/x mal rechter Teil des Produkts, Ableitung vom letzten Post mal linker Teil des Produkts)

Dann bin ich bei

[mm] x^{x^{ln(x)}}*\bruch{1}{x}* x^{ln(x)}*(1+2ln^2(x)) [/mm]

Jetzt kann ich die Sachen links der Klammer noch alle als ein x schreiben, aber damit bin ich immer noch weit von [mm] (lnx+1)x^x [/mm] weg.

Ist es denn soweit richtig?

Danke!
Bezug
                                        
Bezug
Ableitung x^(x^lnx): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Di 12.01.2010
Autor: Herby

Hallo,

> So, also folgendes?
>  
> [mm]e^{ln(x)*e^{ln^2(x)}}*(ln(x)*e^{ln^2(x)})'[/mm]
>  
> (Produktregel: 1/x mal rechter Teil des Produkts, Ableitung
> vom letzten Post mal linker Teil des Produkts)
>  
> Dann bin ich bei
>  
> [mm]x^{x^{ln(x)}}*\bruch{1}{x}* x^{ln(x)}*(1+2ln^2(x))[/mm]
>  
> Jetzt kann ich die Sachen links der Klammer noch alle als
> ein x schreiben, aber damit bin ich immer noch weit von
> [mm](lnx+1)x^x[/mm] weg.

was willst du mit [mm] (ln(x)+1)*x^x [/mm] [haee]

[mm] u'=(2*ln(x)^2+1)*x^{ln(x)-1+x^{ln(x)}} [/mm]


LG
Herby
Bezug
                                                
Bezug
Ableitung x^(x^lnx): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Di 12.01.2010
Autor: oli_k

Das habe ich raus, alles klar! Da ist die Musterlösung wohl falsch.
Bezug
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