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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung x hoch x hoch 2
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Ableitung x hoch x hoch 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 14.05.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bilde die Ableitung

f(x) = [mm] x^{x^2} [/mm]

Moin Moin,

ich würde diese Funktion nach der Kettenregel ableiten. Dies scheint aber nicht korrekt zu sein!???

Also mein Ansatz:

i = [mm] x^2 [/mm]   i ' = 2x

a(i) = [mm] x^i [/mm]  

a' (i) = [mm] i*x^{i-1} [/mm]

a' (i) = [mm] x^2*x^{x^2 -1} [/mm]

Das könnte ich zusammenfassen...

a' (i) = [mm] x^{x^2+1} [/mm]


f ' (x) = [mm] 2x*x^{x^2+1} [/mm]





???



        
Bezug
Ableitung x hoch x hoch 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Do 14.05.2020
Autor: Fulla

Hallo hase-hh,

so funktioniert das leider nicht...
Da die Variable, nach der abzuleiten ist, sowohl in der Basis als auch im Exponenten vorkommt, kannst du nicht einfach "nur" die Ableitungsregel für Polynome verwenden.

Benutze zunächst die Umformung: [mm]a^b=e^{b* \ln a}[/mm].
Angewandt auf diese Funktion (mit [mm]a=x[/mm] und [mm]b=x^2[/mm]) ergibt das: [mm]f(x)=e^{x^2*\ln x}[/mm]

Das kannst du mit den "gewöhnlichen" Regeln ableiten und einen Teil wieder zurück umformen ([mm]x^{x^2}[/mm] wird Teil der Ableitung sein).

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
Ableitung x hoch x hoch 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Do 14.05.2020
Autor: hase-hh

Aha! Vielen Dank!


Es gilt:

[mm] a^b [/mm] = [mm] e^{b*ln(a)} [/mm]


f(x) = [mm] x^{x^2} [/mm]   <=>  f(x) = [mm] e^{x^2*ln(x)} [/mm]


Ansatz Kettenregel:

i = [mm] x^2*ln(x) [/mm]

i ' = [mm] 2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x} [/mm]

i ' = 2x*ln(x)+x


a = [mm] e^i [/mm]

a ' = [mm] e^i [/mm]

a ' = [mm] e^{x^2*ln(x)} [/mm]


f ' (x) = [mm] (2x*ln(x)+x)*e^{x^2*ln(x)} [/mm]

umschreiben...

mithilfe von   [mm] e^{b*ln(a)} [/mm] = [mm] a^b [/mm]


f ' (x) = [mm] (2x*ln(x)+x)*x^{x^2} [/mm]


f' (x) = [mm] 2*ln(x)*x^{x^2+1} [/mm] + [mm] x^{x^2+1} [/mm]


richtig?

Bezug
                
Bezug
Ableitung x hoch x hoch 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Do 14.05.2020
Autor: Fulla


> Aha! Vielen Dank!

>
>

> Es gilt:

>

> [mm]a^b[/mm] = [mm]e^{b*ln(a)}[/mm]

>
>

> f(x) = [mm]x^{x^2}[/mm] <=> f(x) = [mm]e^{x^2*ln(x)}[/mm]

>
>

> Ansatz Kettenregel:

>

> i = [mm]x^2*ln(x)[/mm]

>

> i ' = [mm]2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x}[/mm]

>

> i ' = 2x*ln(x)+x

>
>

> a = [mm]e^i[/mm]

>

> a ' = [mm]e^i[/mm]

>

> a ' = [mm]e^{x^2*ln(x)}[/mm]

>
>

> f ' (x) = [mm](2x*ln(x)+x)*e^{x^2*ln(x)}[/mm]

>

> umschreiben...

>

> mithilfe von [mm]e^{b*ln(a)}[/mm] = [mm]a^b[/mm]

>
>

> f ' (x) = [mm](2x*ln(x)+x)*x^{x^2}[/mm]

>
>

> f' (x) = [mm]2*ln(x)*x^{x^2+1}[/mm] + [mm]x^{x^2+1}[/mm]

>
>

> richtig?

Ja, den letzten Schritt würde ich aber sein lassen. Der "fiese" bzw. komplizierte Term ist hier ja das [mm] $x^{x^2}$, [/mm] da würde ich nicht ausmultiplizieren. Und das Zusammenfassen mit dem Faktor $x$ ist zwar nicht falsch, aber oft ist es praktisch, wenn in der Ableitung die exakte ursprüngliche Funktion wieder vorkommt. Stell dir vor, du wolltest nochmal ableiten, dann kannst du bereits Bekanntes wieder anwenden, ohne den Umweg über die natürliche Exponentialfunktion zu nehmen.

Es kommt natürlich darauf an, was du vorhast, aber ich würde [mm] $f^\prime(x)=(2x\ln x+x)*x^{x^2}$ [/mm] so stehen lassen.

Lieben Gruß
Fulla

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