Ableitung von e < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Timowob |
| Aufgabe | | Wie muß man g(x) in der Gleichung Y"=g(x)y wählen, damit nach dem Einsetzen der Funktion [mm] Y=e^{x^2} [/mm] die Gleichheit gilt? |
Hallo,
ich verstehe die o.g. Fragenstellung nicht richtig. Welche Gleichheit ist hier gemeint?
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Fr 30.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Wie muß man g(x) in der Gleichung Y"=g(x)y wählen, damit
> nach dem Einsetzen der Funktion [mm]Y=e^{x^2}[/mm] die Gleichheit
> gilt?
> Hallo,
Hallo Timo
>
> ich verstehe die o.g. Fragenstellung nicht richtig. Welche
> Gleichheit ist hier gemeint?
Die Funktion [mm] $y(x)=e^{x^2}$ [/mm] soll Lösung der Differentialgleichung $y''=g(x)y$ sein.
Diese Funktion ist aber nur dann Lösung dieser Differentialgleichung, wenn g(x) "geeignet" gewählt ist. Die Frage ist, wie muss man g(x) wählen, damit [mm] $y(x)=e^{x^2}$ [/mm] Lösung der DGL ist.
Dazu setzt man einfach diese Funktion [mm] $e^{x^2}$ [/mm] in die DGL ein, und sieht dann relativ schnell, was als g(x) gewählt werden muss, damit es aufgeht.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Timowob |
Hallo Moudi,
herzlichen Dank für die schnelle Antwort.
D.h. die Frage lautet: [mm] y"=e^{x^2}y [/mm] = [mm] e^{x^2} [/mm] ?
Da bei [mm] f(x)=e^{x^2} f'(x)=e^{x^2} [/mm] ist, muß man [mm] e^{x^2} [/mm] unverändert lassen?
Nochmal herzlichen Dank. Ich wünsche Dir schon jetzt einen guten Rutsch ins neues Jahr.
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Ermittle Dir zunächst $y'' \ = \ ...$ aus $y \ = \ [mm] e^{x^2}$ [/mm] .
Die e-Funktion abgeleitet ergibt wieder die e-Funktion. Allerdings musst Du hier noch die innere Ableitung gemäß  Kettenregel berücksichtigen, da es es ich um eine verkettete Funktion handelt (es steht ja nicht nur [mm] $e^x$ [/mm] sondern [mm] $e^{x^{\red{2}}}$ [/mm] ).
Anschließend kannst Du dann $y''_$ und $y_$ in die DGL $y'' \ = \ g(x)*y$ einsetzen und nach $g(x)_$ umstellen:
$g(x) \ = \ [mm] \bruch{y''}{y} [/mm] \ =\ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Timowob |
So, ich habe jetzt hoffentlich die Lösung zu meiner Frage gefunden 
y = e^(x²)
y'=2x *e^(x²)
y''=2 *2x*e^(x²) = 4x *e^(x²)
y'' = g(x) * y Gesucht: g(x)
g(x) = y'' / y = 4x *e^(x²)/e^(x²)
e^(x²) kürze ich raus und dann bleibt als Resultat: g(x) = 4x
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Thorsten und wünsche allen einen guten Rusch und vorallem viel Erfolg in 2006.
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Die 2. Ableitung stimmt leider nicht! Hier musst Du die Produktregel anwenden:
$(u*v)' \ = \ u'*v + u*v'$
Wähle dabei:
$u \ = \ 2x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 2$
$v \ = \ [mm] e^{x^2}$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] 2x*e^{x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Die 2. Ableitung stimmt nun. Allerdings hast Du beim Kürzen durch [mm] $e^{x^2}$ [/mm] noch einen Fehler gemacht.
Im Zähler kann man doch auch schreiben (vor dem Kürzen):
[mm] $2*e^{x^2} [/mm] + [mm] 4x^2*e^{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(2+4x^2\right)*e^{x^2}$
[/mm]
Also verbleibt nach dem Kürzen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Timowob |
Dann ist die Antwort auf die Frage also:
Y''=2x+4x² ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
Wo hast Du denn das $x_$ bei der $2_$ her?
Nein, der Term [mm] $2+4x^2$ [/mm] ist die Lösung für die gesuchte (Teil-)Funktion $g(x)_$ .
Schließlich gilt ja: $g(x) \ =\ [mm] \bruch{y''}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(2+4x^2\right)*e^{x^2}}{e^{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] 2+4x^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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