Ableitung von Wurzelfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=x*\wurzel{x+2}
[/mm]
Gesucht ist die erste Ableitung.
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Also, zuerst leite ich die Wurzel ab:
[mm] u=\wurzel{x+2}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x+2}}
[/mm]
v=x+2
v'=1
nun f'(x)=u'*v'
also: [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x+2}}
[/mm]
Nun hab ich die Wurzel abgeleitet. Darf ich jetzt noch mit dem x verrechnen? Oder muss ich das x zuerst ableiten, bevor ich verrechnen darf?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Mi 10.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=x*\wurzel{x+2}[/mm]
>
> Gesucht ist die erste Ableitung.
>
>
> Also, zuerst leite ich die Wurzel ab:
>
> [mm]u=\wurzel{x+2}[/mm]
> [mm]u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x+2}}[/mm]
> v=x+2
> v'=1
>
> nun f'(x)=u'*v'
Au Backe !!! So geht das nicht, sondern so:
http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel
FRED
>
> also: [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x+2}}[/mm]
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> Nun hab ich die Wurzel abgeleitet. Darf ich jetzt noch mit
> dem x verrechnen? Oder muss ich das x zuerst ableiten,
> bevor ich verrechnen darf?
>
> Danke.
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Habe die Ableitung der Wurzelfunktion aus dem I-Net. Was war falsch?
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> Habe die Ableitung der Wurzelfunktion aus dem I-Net. Was
> war falsch?
> Also, zuerst leite ich die Wurzel ab:
>
> [mm] u=\wurzel{x+2} [/mm]
> [mm] u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x+2}} [/mm]
> v=x+2
> v'=1
>
>
> nun f'(x)=u'*v'
das ist bei dir nicht f'(x) sondern g'(x), wobei [mm] g(x)=\wurzel{x+2} [/mm] ist.
du musst nun nur noch h(x)=x benutzen und:
f'(x)=h'(x)*g(x)+h(x)*g'(x)
>
> also: [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x+2}}
[/mm]
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Ok, das Resultat bis da hin stimmt also. Aber wie geht es dann weiter. Mit der Produktregel?
Ehm, ich hab bei der Ableitung der Wurzelfunktion die Buchstaben umgeändert, weil es mir mit u + v besser zum Rechnen geht. Spielt ja keine Rolle oder?
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> Ok, das Resultat bis da hin stimmt also.
Hallo,
ja, es stimmt, daß die Ableitung von [mm] g(x)=\wurzel{x+2} [/mm] lautet
[mm] g'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x+2}},
[/mm]
Du hast das also richtig berechnet,
Dein Aufschrieb der Berechnung ist allerdings falsch - wenn ich auch gut verstehe, was Du damit meintest.
Ich will das jetzt aber nicht auseinanderpflücken.
Wir stellen einfach fest: da_reel_boss hat [mm] g(x)=\wurzel{x+2} [/mm] richtig abgeleitet.
> Aber wie geht es
> dann weiter. Mit der Produktregel?
Genau, jetzt machst Du mit der Produktregel weiter.
$ [mm] f(x)=\underbrace{x}_{=h(x)}\cdot{}\underbrace{\wurzel{x+2}}_{g(x)} [/mm] $
Gruß v. Angela
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Danke dir, Angela. Hast mich auf die richtige Spur gebracht. =)
Nun habe ich f'(x)= [mm] \wurzel{x+2}+\bruch{x}{2*\wurzel{x+2}}
[/mm]
Kann ich das noch irgendwie vereinfachen. Muss nämlich die Extrema bestimmen, sprich die Gleichung nullsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mi 10.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ableitung ist korrekt.
[mm] \wurzel{x+2}+\bruch{x}{2\wurzel{x+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{x+2}*\green{2\wurzel{x+2}}}{\green{2\wurzel{x+2}}}+\bruch{x}{2\wurzel{x+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*\left(\wurzel{x+2}\right)^{2}+x}{2\wurzel{x+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(x+2)+x}{2\wurzel{x+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x+4}{2\wurzel{x+2}}
[/mm]
Marius
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