Ableitung von Vektor-Funktion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Di 15.06.2010 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe | Sei [mm] M\in \IR^{n\times n}, v,x\in\IR^n
[/mm]
[mm] F(x)=x^T*M*x+v^T*x
[/mm]
Bestimmen sie das Minimum von F(x) |
Hallo
Ist wahrscheinlich eine ziemlich einfache Frage, aber wie leite ich die Funktion ab?
Um das Minimum zu bestimmen, muss ich ja die Funktion 2 mal nach x ableiten. Aber wie mache ich dass? Ich habe grad ein Brett vorm Kopf und sehe nicht, was [mm] \bruch{d}{dx}x [/mm] ist. 1 kann ja nicht sein, dann wären in [mm] \bruch{dF(x)}{dx} [/mm] stehende und liegende Vektoren. Ist es [mm] (1,...,1)^T? [/mm]
Bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]M\in \IR^{n\times n}, v,x\in\IR^n[/mm]
> [mm]F(x)=x^T*M*x+v^T*x[/mm]
> Bestimmen sie das Minimum von F(x)
> Hallo
> Ist wahrscheinlich eine ziemlich einfache Frage, aber wie
> leite ich die Funktion ab?
> Um das Minimum zu bestimmen, muss ich ja die Funktion 2
> mal nach x ableiten. Aber wie mache ich dass? Ich habe grad
> ein Brett vorm Kopf und sehe nicht, was [mm]\bruch{d}{dx}x[/mm] ist.
> 1 kann ja nicht sein, dann wären in [mm]\bruch{dF(x)}{dx}[/mm]
> stehende und liegende Vektoren. Ist es [mm](1,...,1)^T?[/mm]
> Bin für jede Hilfe dankbar.
Wir setzen [mm] $F_1(x)= x^T*M*x$ [/mm] und [mm] $F_2(x)= v^T*x$
[/mm]
Schau Dir nochmal die Def. der Ableitung an. Vielleicht siehst Du dann, dass
[mm] $F_1'(x) [/mm] = [mm] M*x+M^T*x$ [/mm] und [mm] $F_2'(x)=v$
[/mm]
ist.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 Di 15.06.2010 | | Autor: | Burdy |
Ok, wenn ich also auf [mm] \bruch{d}{dx}x^TMx [/mm] die Kettenregel anwende, dann ist das [mm] 1*M*x+(x^T*M)^T*1 [/mm] ? Und die 2. Ableitung [mm] M+M^T [/mm] ? [mm] F(x)\in\IR, F'(x)\in\IR^n, F''(x)\in\IR^{n\times n}
[/mm]
Wie ist das denn dann mit den Extrema? Die notwendige Bedingung ist eine Nullstelle bei F'(x), die findet man ja durch umstellen und lösen eines LGS.
Die hinreichenden Bedingung ist in 1D, dass F''(x)>0 sein soll? Wie übertrag ich dass auf Matrizen, wenn ich [mm] F''(x)=M+M^T [/mm] hab?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 17.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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