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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung v. Wurzel mit Bruch

Ableitung v. Wurzel mit Bruch < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Ableitung v. Wurzel mit Bruch: Weg zur Vereinfachung d. Terms

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:30 Mi 21.10.2009
Autor:	LeoTaxil

Aufgabe

 1. und 2. Ableitung von f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}*x - \bruch{1}{2}} [/mm] 

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe die Ableitungen nun gemacht und komme auf:

f'(x) = [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8*\wurzel{\bruch{1}{4}*x - \bruch{1}{2}}} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{1}{16* \wurzel{x}^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4096*\wurzel{\bruch{1}{4}*x - \bruch{1}{2}}^{3}} [/mm]

Ich habe allerdings Ergebnissvorgaben erhalten, die, man mag es meinen Lösungen bereits ansehen, nicht nur schöner sondern im weiteren Verlauf auch besser zu gebrauchen sind.

Diese wären:
f´(x) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4*\wurzel{x - 2}} [/mm]

f´´(x) = [mm] \bruch{-1}{4*\wurzel{x^{3}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8*\wurzel{(x - 2)^{3}}} [/mm]

Ich habe es auch bereits mit Auflösen der Wurzeln vor der ersten Ableitung (sprich mit: [mm] (\bruch{1}{4}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^{\bruch{1}{2}}) [/mm]
versucht. Bringt mir aber gar nichts:

f'(x) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{4}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^{- \bruch{1}{2}} [/mm]

Mir scheint entweder eine ganz gewiefte Sache entgangen zu sein oder schlicht eine ganze Regel. Habe allerdings Formelsammlung und Google durchsucht und keinen einzigen brauchbaren Hinweiß gefunden. Da ich LK Queereinsteiger bin kann es natürlich auch an mangelnder Praxis liegen. Ich wäre dennoch über einen Tipp äußerst Dankbar, denn es sind jetzt erst mal zwei Wochen Ferien...

Bezug

Ableitung v. Wurzel mit Bruch: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:48 Mi 21.10.2009
Autor:	schachuzipus

Hallo LeoTaxil und herzlich [willkommenmr]

,

> 1. und 2. Ableitung von f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}*x - \bruch{1}{2}}[/mm]
>  Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe die Ableitungen nun gemacht und komme auf:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2* \wurzel{x}}[/mm] -  [mm]\bruch{1}{8*\wurzel{\bruch{1}{4}*x - \bruch{1}{2}}}[/mm]

>
> f''(x) = [mm]\bruch{1}{16* \wurzel{x}^{3}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4096*\wurzel{\bruch{1}{4}*x - \bruch{1}{2}}^{3}}[/mm]

>
> Ich habe allerdings Ergebnissvorgaben erhalten, die, man
> mag es meinen Lösungen bereits ansehen, nicht nur schöner
> sondern im weiteren Verlauf auch besser zu gebrauchen
> sind.
>
> Diese wären:
> f´(x) = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4*\wurzel{x - 2}}[/mm]
>
> f´´(x) = [mm]\bruch{-1}{4*\wurzel{x^{3}}}[/mm] -  [mm]\bruch{1}{8*\wurzel{(x - 2)^{3}}}[/mm]
>
> Ich habe es auch bereits mit Auflösen der Wurzeln vor der
> ersten Ableitung (sprich mit: [mm](\bruch{1}{4}*x[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2})^{\bruch{1}{2}})[/mm]
>  versucht. Bringt mir aber gar nichts:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{1}{4}*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2})^{- \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Mir scheint entweder eine ganz gewiefte Sache entgangen zu
> sein oder schlicht eine ganze Regel.

Nur eine Umformung:

Im Nenner des hinteren Bruchs deiner Ableitung steht [mm] $8\cdot{}\sqrt{\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}}$ [/mm]

Das kannst du schreiben als [mm] $4\cdot{}2\cdot{}\sqrt{\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}}=4\cdot{}\sqrt{4}\cdot{}\sqrt{\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}}=4\cdot{}\sqrt{4\cdot{}\left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)}=...$ [/mm]

> Habe allerdings
> Formelsammlung und Google durchsucht und keinen einzigen
> brauchbaren Hinweiß gefunden. Da ich LK Queereinsteiger
> bin kann es natürlich auch an mangelnder Praxis liegen.
> Ich wäre dennoch über einen Tipp äußerst Dankbar, denn
> es sind jetzt erst mal zwei Wochen Ferien...

Deine 1.Ableitung stimmt, die 2.Ableitung nicht mehr.

Schreibe um:

[mm] $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{8\sqrt{\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot{}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{8}\cdot{}\left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ [/mm]

Das leite nun nochmal gemäß Potenzregel bzw. für den hinteren Summanden mit kombinierter Potenz- und Kettenregel ab ...

Gruß

schachuzipus

Bezug

Ableitung v. Wurzel mit Bruch: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:02 Mi 21.10.2009
Autor:	Herby

Hallo,

Vielleicht ist es angenehmer von vorne herein das Ganze etwas umzuschreiben:

[mm] \wurzel{x}-\wurzel{\bruch{1}{4}*x-\bruch{1}{2}}=\wurzel{x}-\wurzel{\bruch{1}{4}*\left(x-2\right)}=\wurzel{x}-\bruch{1}{2}*\wurzel{x-2} [/mm]

[mm] \left(\wurzel{x}-\bruch{1}{2}*\wurzel{x-2}\right)'=\bruch{1}{2*\wurzel{2}}-\bruch{1}{4*\wurzel{x-2}} [/mm]

Lg
Herby

Bezug

Ableitung v. Wurzel mit Bruch: Danke

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	22:24 Mi 21.10.2009
Autor:	LeoTaxil

Vielen Dank! Das hilft mir in Kombination auch sonst sicherlich weiter.

Bezug

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