Ableitung trigomet. Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | Leiten Sie folgende Funktionen ab:
i) [mm] f(x)=arctan(\wurzel (\bruch{x+1}{x-1}))
[/mm]
ii) g(x)=arcsin(1/x)
iii) h(x)= [mm] 1/2*tan^{2}(x)+ln(cos(x)) [/mm] |
wenn ich wüsste wie man das arctan in eine tan funktion
und das arcsin in eine sin funktion umstellen könnte, vielleicht wäre es dann einfachen.
sonst habe ich nämlich keine ahnung wie man das machen soll und das mathetool.de macht solche ableitungen auch nicht.
bei iii)
dachte ich zu teilen und patial zu differenzieren: einmal
(1/2*tan(x)*tan(x) )' und dann
(ln(cos(x)))'= [mm] \bruch{cos(x)}{-sin{x}}
[/mm]
dann hätte ich
- cot (x) + (1/2*tan(x)*tan(x) )'
obwohl ich nicht genau weiß wie ich da die ableitung von (1/2*tan(x)*tan(x) ) berechnen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mi 10.12.2008 | | Autor: | tedd |
Nutze die Kettenregel ("äußere Ableitung" * "innere Ableitung")
Zu)
$ iii) h(x)= [mm] 1/2\cdot{}tan^{2}(x)+ln(cos(x)) [/mm] $
Im Prinzip war dein Vorgehen richtig
$ (1/2*tan(x)*tan(x))' $
hier kannst du die Produktregel anwenden.
$ ln(cos(x)) $ hast du falsch abgeleitet.
$ [mm] (ln(u))'=\bruch{1}{u} [/mm] $
$ u=cos(x) $
$ u'=(cos(x))'=-sin(x) $
"äußere Ableitung"*"innere Ableitung":
[mm] \bruch{1}{cos(x)}*-sin(x)=\bruch{-sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
Die anderen Teilaufgaben kannst du im Grunde genauso lösen.
Schau dir nochmal an, wie die Kettenregel funktioniert und dann probiere die Aufgabe nochmal zu lösen.
Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
iii) ist jetzt klar danke für die verbesserung
aber bei i) und ii) habe ich nicht einmal eine idee!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Blech |
Wir nutzen, daß [mm] $(f^{-1}\circ [/mm] f) [mm] (x)=f^{-1}(f(x))$ [/mm] die Identität ist:
[mm] $1=\frac{d}{dx}x\underbrace{=}_{\text{Def. der Umkehrfunktion}}\frac{d}{dx}(f^{-1}\circ f)(x)\underbrace{=}_{\text{Kettenregel}}f^{-1}'(f(x))f'(x)$
[/mm]
nach [mm] $f^{-1}'(f(x))$ [/mm] aufgelöst:
[mm] $f^{-1}'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}$
[/mm]
$y:=f(x)$ :
[mm] $\Rightarrow f^{-1}'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$
[/mm]
Damit brauchst Du nur noch die Abl. von sin und tan.
(Du mußt nur wegen dem Definitionsbereich etwas vorsichtig sein)
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
i) und ii) lassen sich beide auch mit der Kettenregel lösen. Bei i) musstt du halt zweimal innere und äußere bilden. Wenn du alles zum Schluss richtig zusammengefasse hast, dann kommt:
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{(2x^2-x)*\wurzel{\bruch{x+1}{x-1}}}
[/mm]
raus.
Leite zunächst halt [mm] f(x)=arctan{\wurzel{z}} [/mm] ab mit [mm] z=\bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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