Ableitung multilineare Abb. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Do 08.12.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:V^{k}\to [/mm] W eine multilineare Abbildung auf dem endlichdimensionalen Vektorraum V. Bestimme die Ableitung der Funktion g(x)=f(x,...,x). |
ich habe eine Lösung gefunden, weiß aber nicht so recht wie das alles gemeint ist.
Da steht [mm] D_{i}f(x_{1},...,x_{k})(v_{i})=f(x_{1},...,x_{i-1},v_{i},x_{i+1}). [/mm] Ich versteh eigentlich garnicht wie dies zu verstehen ist. Warum muss ich denn in [mm] f(x_{1},...,x_{k}) [/mm] noch ein [mm] v_{i} [/mm] aus V hineinstecken? Wahrscheinlich verstehe ich diese multilineare Abbildungen noch nicht. Kann man das vllt. beispielhaft kurz erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
nehmen wir
$f:\ [mm] \IR^2\to \IR;\ \vektor{x\\ y}\mapsto [/mm] xy$
1. Ist die Abbildung multilinear? Wieso?
2. $g(x)$ ist eine Abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm]
$g:\ [mm] \IR\to\IR;\ x\mapsto [/mm] f(x,x);\ [mm] x\mapsto x^2$.
[/mm]
Was ist also die Ableitung, *mit dem Differentialquotienten berechnet*? Strikt nach Definition der Ableitung, keine "huhu, Ableitung von [mm] x^2 [/mm] ist 2x" Rechenregeln.
3. Was ist die Ableitung, wenn Du nicht [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] verwendest, sondern stattdessen f(x,x) beim Differentialquotienten einsetzt?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Unk |
> Hi,
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> nehmen wir
> [mm]f:\ \IR^2\to \IR;\ \vektor{x\\ y}\mapsto xy[/mm]
>
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> 1. Ist die Abbildung multilinear? Wieso?
>
> 2. [mm]g(x)[/mm] ist eine Abbildung von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm],
>
> [mm]g:\ \IR\to\IR;\ x\mapsto f(x,x);\ x\mapsto x^2[/mm].
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> Was ist also die Ableitung, *mit dem Differentialquotienten
> berechnet*? Strikt nach Definition der Ableitung, keine
> "huhu, Ableitung von [mm]x^2[/mm] ist 2x" Rechenregeln.
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> 3. Was ist die Ableitung, wenn Du nicht [mm]g(x)=x^2[/mm]
> verwendest, sondern stattdessen f(x,x) beim
> Differentialquotienten einsetzt?
>
> ciao
> Stefan
Hi,
ja multilinear usw. ist sie. Strikt nach Differentialquotient ist das doch sowas [mm] g'(x)=\underset{h\to0}{\lim}\frac{f(x+h,x+h)-f(x,x)}{h}. [/mm] Gut das kann man oben noch weiter auseinanderziehen, aber ich sehe immer noch nicht, warum ich wenn ich eine multilinearform ableiten will, das in der Form [mm] D_{i}f(x_{1},...,x_{k})(v_{i}) [/mm] machen muss. Was macht denn dieses [mm] v_{i} [/mm] da für einen Sinn? Ich sehe leider nicht, wie mir dein Beispiel da weiterhilft?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Blech |
> $ [mm] g'(x)=\underset{h\to0}{\lim}\frac{f(x+h,x+h)-f(x,x)}{h}. [/mm] $ Gut das kann man oben noch weiter auseinanderziehen,
dann tu das mal.
> warum ich wenn ich eine multilinearform ableiten will, das in der Form $ [mm] D_{i}f(x_{1},...,x_{k})(v_{i}) [/mm] $ machen muss. Was macht denn dieses $ [mm] v_{i} [/mm] $ da für einen Sinn?
Folgt aus der Definition der Richtungsableitung, insbesondere daß die Richtungsableitung in Richtung 2v das doppelte der Ableitung in Richtung v ist
(was wiederum aus der intuitiven Definition:
$D f(x)(v)= [mm] (\mathrm{grad} [/mm] f)^tv$
folgt)
per ![[]](/images/popup.gif) WikipediaEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
$ {\rm d}f({p})\colon \mathbb{R}^{n} \to\mathbb{R}\, , \ {v} \mapsto \partial_{v}f({p})=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}({p})\, v^{i} $
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:57 So 11.12.2011 | | Autor: | Unk |
Ok. Schonmal danke. Zurück zu meiner Ausgangsfunktion.
Berechne ich nun mal [mm] D_{1}f(x_{1},...,x_{n})(v_{1})=\left(\underset{h\to0}{\lim}\frac{f(x_{1}+h,x_{2},...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{n})}{h}\right)(v_{1})=\left(\underset{h\to0}{\lim}\frac{f(h,x_{2},...,x_{n})}{h}\right)(v_{1}).
[/mm]
Ist das so nach Definition schonmal richtig? Muss ich von dem h untem im Nenner nicht eigentlich die Norm nehmen (h ist ja ein Vektor)?
Wenn das so richtig wäre, dann würde ich jetzt einfach die Linearität weiter ausnutzen und schreiben
[mm] \left(\underset{h\to0}{\lim}\frac{f(h,x_{2},...,x_{n})}{h}\right)(v_{1})=\left(\underset{h\to0}{\lim}f(1,x_{2},...,x_{n})\right)(v_{1})=f(v_{1},x_{2},...,x_{n}). [/mm] Wiederum ist 1 ein Vektor. Geht das allgemein so, also darf man das alles so aufschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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