Ableitung mit Summenformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mo 27.01.2014 | | Autor: | balthier |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.
c) [mm] z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}} [/mm] |
Hallöchen,
das ist vielmehr eine Rückfrage, ob ich es mir nicht zu leicht mache.
Ich würde das einfach umschreiben in:
[mm] f(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}} [/mm] also [mm] f(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k}
[/mm]
und somit
[mm] f'(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 = 1
Geht das?
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Hallo,
Behauptung:
[mm] \wurzel{13}=5
[/mm]
'Beweis':
[mm] \wurzel{13}=\wurzel{4+9}=\wurzel{4}+\wurzel{9}=2+3=5
[/mm]
Das sollte deine Frage beantworten. 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.
>
> c) [mm]z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}[/mm]
>
> Hallöchen,
>
> das ist vielmehr eine Rückfrage, ob ich es mir nicht zu
> leicht mache.
> Ich würde das einfach umschreiben in:
>
> [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}[/mm] also
> [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]f'(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1 = 1
>
> Geht das?
Du wurdest schon als linearer Wurzelzieher von Diophant entlarvt,
aber du machst noch einen sehr großen Fehler!
Es gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}1\not=1 [/mm] für [mm] n\not=1 [/mm] - Warum?
Gruß
DieAcht
P.S. Der Begriff ist von FRED geklaut 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mo 27.01.2014 | | Autor: | balthier |
Haha, also doch viel zu einfach gedacht.
Genügt denn als Ableitung:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2\wurzel{x_{k}^{2}}}
[/mm]
Oder gehe ich die Sache völlig falsch an?
> Es gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1\not=1[/mm] - Warum?
>
Gute Frage.
[mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Haha, also doch viel zu einfach gedacht.
Ja.
> Genügt denn als Ableitung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
>
> Oder gehe ich die Sache völlig falsch an?
>
[mm] z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}
[/mm]
Wenn du nach [mm] $x_1$ [/mm] ableitest, dann sind [mm] x_2,...,x_n [/mm] Variablen.
Was ist denn die Ableitung von folgender Funktion:
[mm] f(x)=\sqrt{x^2+5+10+123}
[/mm]
>
> > Es gilt:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}1\not=1[/mm] - Warum?
> >
>
> Gute Frage.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.
Wieso nicht?
Wie oft wird denn die Zahl $1$ addiert?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 27.01.2014 | | Autor: | balthier |
> Was ist denn die Ableitung von folgender Funktion:
>
> [mm]f(x)=\sqrt{x^2+5+10+123}[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^{2}+138}}
[/mm]
Also Kettenregel nicht vollständig durchgeführt?
Also
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{x_{k}}{\wurzel{x_{k}^{2}}}
[/mm]
> >
> > Gute Frage.
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.
>
> Wieso nicht?
>
> Wie oft wird denn die Zahl [mm]1[/mm] addiert?
>
Vermutlich n mal. Ich finde nur leider kein k in der Gleichung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 27.01.2014 | | Autor: | balthier |
> Schreib das doch mal ohne die Summe auf!
>
> [mm]\frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}[/mm]
>
> Jetzt du!
Du spielst darauf an, dass sich in meiner Schreibweise die Summe auch auf den Zähler bezieht, ja? Kann ich dann einfach schreiben:
[mm] \bruch{x_{k} }{\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}} [/mm]
oder
[mm] x_{k} * {\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
Sorry, ich bin mir bei der Schreibweise nicht sonderlich sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > Schreib das doch mal ohne die Summe auf!
> >
> > [mm]\frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}[/mm]
>
> >
> > Jetzt du!
>
> Du spielst darauf an, dass sich in meiner Schreibweise die
> Summe auch auf den Zähler bezieht, ja?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich dann
> einfach schreiben:
>
> [mm]\bruch{x_{k} }{\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]x_{k} * {\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
So wie ich dich verstehe willst du eine allgemeine Formel
zum Darstellen der partiellen Ableitung nach genau einer Variable.
Du willst also etwas in dieser Form:
[mm] z_{x_{\alpha}}=\frac{x_{\alpha}}{\|x\|_2} [/mm] mit [mm] \alpha\in\{x_1,\ldots,x_n\}
[/mm]
> Sorry, ich bin mir bei der Schreibweise nicht sonderlich
> sicher.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mo 27.01.2014 | | Autor: | balthier |
> Und was ist dann [mm]x_k[/mm] ?
Richtig. Daher war ich mir nicht sicher.
> So wie ich dich verstehe willst du eine allgemeine Formel
> zum Darstellen der partiellen Ableitung nach genau einer
> Variable.
Nun, die Aufgabe sieht vor, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu berechnen. Demonstrativ ließe sich das ja für [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] und [mm]x_{n}[/mm] machen, doch wenn es sich um eine solche Summe handelt, hat das immer etwas unschönes. Ich bleibe einfach bei deiner Darstellung. Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Viel schöner wäre die Aufgabe, wenn die Funktion so aussehen würde:
[mm] z_n=\sqrt{x^2_1+x^2_2+\ldots+x^2_n}
[/mm]
Dann könnte man das schöner aufschreiben, denn [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist beliebig aber fest.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Schreib das doch mal ohne die Summe auf!
> >
> > [mm]\frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}[/mm]
Ja, das stimmt.
>
> >
> > Jetzt du!
>
> Du spielst darauf an, dass sich in meiner Schreibweise die
> Summe auch auf den Zähler bezieht, ja? Kann ich dann
> einfach schreiben:
>
> [mm]\bruch{x_{k} }{\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
Unfug !
Die Ableitung nach [mm] x_k [/mm] ist:
[mm]\bruch{x_{k} }{\wurzel{\summe_{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]x_{k} * {\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
Grausam !
Mach Dir klar, dass i.a.
[mm] \bruch{a}{b+c} \ne a(\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}) [/mm] ist
FRED
>
> Sorry, ich bin mir bei der Schreibweise nicht sonderlich
> sicher.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> > Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.
> >
> > c) [mm]z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}[/mm]
>
> >
> > Hallöchen,
> >
> > das ist vielmehr eine Rückfrage, ob ich es mir nicht zu
> > leicht mache.
> > Ich würde das einfach umschreiben in:
> >
> > [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}[/mm] also
> > [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm]
> >
> > und somit
> >
> > [mm]f'(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1 = 1
> >
> > Geht das?
>
> Du wurdest schon als linearer Wurzelzieher von Diophant
> entlarvt,
> aber du machst noch einen sehr großen Fehler!
>
> Es gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1\not=1[/mm] für [mm]n\not=1[/mm] - Warum?
>
>
> Gruß
> DieAcht
>
> P.S. Der Begriff ist von FRED geklaut
Neben den linearen Wurzelziehern gibt es noch
-- lineare Quadrierer: [mm] (a+b)^2=a^2+b^2,
[/mm]
-- lineare Logarithmierer: log(a+b)=log(a)+log(b),
etc.....
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Noch was:
Für a<0 ist [mm] \wurzel{a^2}\ne [/mm] a.
Es ist
[mm] \wurzel{a^2}=|a|
[/mm]
FRED
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