Ableitung euleresche Zahl e < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mi 03.05.2006 | | Autor: | LaLune |
Hallo!
Ich möchte die Extremstellen (Hoch-, Tiefpunkt, Wendepunkt) von der Gleichung ((e^(x)-e^(-x)) / (e^(x)+e^(-x)) bestimmen. !!Achtung: e hier keine normale Variable, sondern eulersche Zahl!!
Ich bin nun so vorgegangen:
Quotientenregel:
$ f'(x) \ = \ [mm] \bruch{u'\cdot{}v-u\cdot{}v'}{v^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(e^x+e^{-x}\right)\cdot{}\left(e^x+e^{-x}\right)-\left(e^x-e^{-x}\right)\cdot{}\left(e^x-e^{-x}\right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)\cdot{}\left(e^x+e^{-x}\right)} [/mm] \ = \ ... $
Nun habe ich die Ableitung, die f´(x)=0 gesetzt wird.
Wenn ich nun den gesamten Nenner der Gleichung rechts vom gleichheitszeichen verschiebe, so steht dort 0*....,d.h. ich bekomme 4 = 0
Nun, was mache ich nun? Laut Skizze müsste Hochpunkt auf ca. 2/1 (?)Tiefpunkt auf -2/-1 (?) und wendepunkt auf 0/0 liegen. Jedoch verläuft der Graph ab kleiner -2 (x-Wert) und größer +2 völlig parallel zur y-Ache (steigung 0). Bekomme ich dieshalb keinen hoch bzw Tiefpunkt? Wie sieht es mit dem Wendepunkt aus?
Lautet f´´(x) = (0*(e^(x)+e^(-x))² - 4 * ( ??? (vgl 1unten )) / [mm] (e^{x}+e^{-x})^4
[/mm]
1unten: f(u) = (e^(x)+e^(-x))²
f´(u) = kann mir das jemand ableiten?!
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
Liebe Grüße...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mi 03.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Lalune
Du hast schon einen thread mit der Frage! Du kannst nicht nen neuen anfangen und nicht auf die Antworten im alten eingehen!
Hast du das Wort Kettenregel noch nie gehört?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Arkus |
Willkommen LaLune :)
Deine Funktion lautet
[mm] $f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$
[/mm]
Hier die Qotientenregel anzuwenden ist richtig :)
Du erhälst dann, wenn du den Zähler auflöst
[mm] $f'(x)=\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2}$
[/mm]
Laut den Regeln erhälst du dann tatsächlich bei der Bestimmung der möglichen Extrema 0=4 und das ist eine falsche Aussage. Damit hat die Funktion keine Extrema. Das sieht man auch unmittelbar an der Zeichung. Ich vermute mal, dass deine Skizze falsch ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die zweite Ableitung lautet dann wieder nach der selben Regel (mit der Anwendung der Kettenregel):
[mm] $f''(x)=\frac{0\cdot (e^x+e^{-x})^2-4\cdot 2(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^4}$
[/mm]
$f''(x)=-8 [mm] \cdot \frac{(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^3}$
[/mm]
Dabei leitest du f(x) = (e^(x)+e^(-x))² wie folgt ab:
Erst die gesammte Klammer ableiten ohne auf den Inhalt zu achten also [mm] f(x)=(...)^2 [/mm] -> f'(x)=2 [mm] \cdot [/mm] (...) und das multiplizierst du mit der Ableitung des Klammerinhaltes, hier als [mm] (e^x-e^{-x}). [/mm] Ok das war mal die Kettenregel auf gut deutsch :D
MfG Arkus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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