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Ableitung einer gebr. rational: Ich benötige eine Lösungsidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mo 03.09.2018
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>f(x)=sin(x)/x
Erste Ableitung an der Stelle x=1 entwickeln mit der h-Methode
 


<br>Guten Tag,
ich versuche, obige Funktion mit der h-Methode zu bestimmen. Dies will mir nicht gelingen.
Ich kenne die erste Ableitung mit hilfe der Quotientenregel, die leicht zu ermitteln war.
Meine Frage lautet einfach: Ist es überhaupt möglich, die Ableitung mit der h-Methode zu bestimmen? 
Wenn ja, würde ich mich über einen Tipp freuen. Ich reiche dann auch mein(e)n Lösungsversuch(e) ein
Mit freundlichen Grüßen
wolfgangmax

        
Bezug
Ableitung einer gebr. rational: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:18 Di 04.09.2018
Autor: HJKweseleit

Die sin-Funktion (also nur der Zähler) lässt sich grundsätzlich nur sehr problematisch ableiten:

Entweder verwendet man die Reihendarstellung (und ist im nu fertig), oder man benötigt die Additionstheoreme mit zusätzlich geometrischen Argumenten (s.u.).

Nun zu deiner Funktion:

Wir bilden den Differenzenquotienten

m = [mm] \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}= \bruch{1}{h}*(\bruch{sin(1+h)}{1+h}-\bruch{sin(1)}{1})=\bruch{1}{h}*\bruch{sin(1+h)-sin(1)-h*sin(1)}{1+h}=\bruch{1}{h}*\bruch{sin(1)cos(h)+cos(1)sin(h)-sin(1)-h*sin(1)}{1+h}... [/mm]

Nenner vertauschen und anders zusammenfassen ... [mm] =\bruch{1}{1+h}*(sin(1)*\bruch{cos(h)-1}{h}+cos(1)\bruch{sin(h)}{h}-sin(1)) [/mm]

Nun betrachten wir die einzelnen Bestandteile für h [mm] \mapsto [/mm] 0:

Der Faktor vorn geht nach 1, fällt somit als Faktor einfach weg.

[mm] \bruch{cos(h)-1}{h}=\bruch{cos(h)-cos(0)}{h} [/mm] wird zur Ableitung des cos an der Stelle 0. Da der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse ist, hat er dort einen Extremwert und damit die Ableitung 0. Somit wird der erste Summand in der Klammer 0.

[mm] \bruch{sin(h)}{h} [/mm] ist das Verhältnis des Sinus zu seinem Winkel im Bogenmaß des Einheitskreises und wird zu 1. Dies ist problematisch und soll erst mal geglaubt werden.

Damit wird der ganze Ausdruck zu cos(1) - sin(1).

Dies stimmt mit der Berechnung über die Quotientenregel und Einsetzen von x=1 überein.

Fehlt nur noch die plausible Erklärung für [mm] \bruch{sin(h)}{h} \mapsto [/mm] 1 ...


Bezug
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