Ableitung einer e Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Siurek |
Hallo zusammen!
ich hab hier ein Problem und brauche dringend Hilfe!
also gegeben ist die Funktion f durch die Funktionsgleichung:
[mm] f(x)=(e^-x-1)^2 [/mm] die ich bis zur dritten Ableitung ableiten soll.
ich hab auch die Lösungen doch da sind ein paar stellen die ich nicht verstehe??
f'(x)=2*(e^-x-1)*(e^-x)=-2*e^-x*(e^-x-1) hier ist noch alles klar aber in der 2ten Ableitung fängts an
f''(x)=2*e^-x*(e^-x-1)+(-2*e^-x)*(-e^-x)=2*e^-x*(e^-x-1)+2*e^-2x=
2*e^-x*(2*e^-x-1) ich weiss das ich hier die produktregel anwenden muss. ich erkenne auch u(x)=(-2*e^-x);u'(x)=(2*e^-x);v(x)=(e^-x-1) und v'(x)=(-e^-x)
mein problem ist hier das faktorisieren und zwar fängt das in der f''(x) hinter dem 2ten "= zeichen" an. ich kann da überhaupt nicht nachvollziehen wieso die "2" in der Klammer dort auftaucht??woher kommt die??wo ist plötzlich die "2" im Exponenten in der e^-x hin?stecken die unter einer Decke??ich werd noch wahnsinnig hier
ich hoffe jemand kann das hier verstehen.. ich verzweifle schon und wäre sehr dankbar wenn jemand mir diese umwandlung von 2e^-x*(e^-x-1)+2*e^-2x zur 2*e^-x*(2*e^-x-1) verständlich erklären könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Siurek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Fabian |
Hi Siurek
Du solltest auch bist zum Ende mit dem Formeleditor weiterarbeiten. Für mich ist es sonst sehr schwer durch deine Rechenschritte durchzublicken. Aber jetzt zu deiner Aufgabe!
[mm] f(x)=(e^{-x}-1)^{2}
[/mm]
Hier mußt du die Kettenregel anwenden
[mm] f'(x)=-2e^{-x}(e^{-x}-1)
[/mm]
Bist hier hin bist du ja selber gekommen! Nun hast du zwei Möglichkeiten. Entweder du multiplizierst aus und kannst dann einzeln differenzieren oder du wendest die Produktregel an!
1. Weg
[mm] f'(x)=-2e^{-x}(e^{-x}-1)=-2e^{-2x}+2e^{-x}
[/mm]
Jetzt differenzierst du einfach gliedweise!
[mm] f''(x)=4e^{-2x}-2e^{-x}
[/mm]
2. Weg
[mm] f''(x)=2e^{-x}(e^{-x}-1)+(-e^{-x}\*-2e^{-x})
[/mm]
Jetzt mußt du nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen!
[mm] f''(x)=2e^{-2x}-2e^{-x}+2e^{-2x}=4e^{-2x}-2e^{-x}=2e^{-x}(2e^{-x}-1)
[/mm]
Du siehst beide Wege führen zum Ziel!
Jetzt noch mal zu deinem Umwandlungsproblem! Du mußt wissen , zwei Potenzen werden multipliziert indem man ihre Exponenten addiert. Also [mm] 2e^{-x}\*2e^{-x}=2e^{-x-x}=2e^{-2x}! [/mm] Um nacher auf dein Ergebnis zu kommen wurde einfach [mm] 2e^{-x} [/mm] ausgeklammert!
Alles klar? Meld dich sonst noch mal , wenn du irgendwas nicht verstanden hast!
Gruß Fabian
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