Ableitung einer Wurzelfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Di 10.05.2005 | | Autor: | aingob |
Hallo ich habe folgende Funktion. Bin mir nicht sicher ob meine Ableitung stimmt.
f(X) = [mm] \wurzel{ax^{2}-2x}
[/mm]
f'(X) = [mm] 0,5(ax^{2}-2x)^{-0,5}*(2x-2)
[/mm]
f'(X) = [mm] (x-1)(ax^{2}-2x)^{-0,5}
[/mm]
Ist das richtig?
Wenn ja, dann komme ich nämlich auf folgende zweite Ableitung:
f''(X) = [mm] 1*(ax^{2}-2x)^{-0,5}+(x-1)(-0,5)(ax^{2}-2x)^{-1,5}
[/mm]
f''(X) = [mm] (ax^{2}-2x)^{-0,5}+(-0,5x+0,5)(ax^{2}-2x)^{-1,5}
[/mm]
Wenn das richtig wäre, kann man dann noch weiter vereinfachen??
und als kleines Zusatzproblem: Wie bestimme ich da am einfachsten die Werte- und Definitionsmenge?? Da muss ich doch eine Fallunterscheidung für a machen oder?? Mehr fehlt da total der richtige Ansatzgedanke.
Danke für eure Mühe werde in Zukunft, helfen wo ich kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Di 10.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Ingo,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast bei der inneren Ableitung den Parameter $a$ vergessen - demnach ist dann auch die zweite Ableitung falsch. Es müsste heißen:
[mm] $f'(x)=(\red{a}x-1)\cdots [/mm] $
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Di 10.05.2005 | | Autor: | aingob |
Danke schön.
Dann wäre dies doch dann die zweite Ableitung??
Kann man nichts mehr vereinfachen??
$ [mm] f'(x)=a\cdot{}(ax^{2}-2x)^{-0,5}+(-0,5ax+0,5)(ax^{2}-2x)^{-1,5} [/mm] $
Muss zu dieser Funktion eine komplette Kurvendiskussion machen und bin damit total übervordert, da ich mit der Variablen a nicht zurecht komme.
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Hi, aingob,
> [mm]f'(x)=a\cdot{}(ax^{2}-2x)^{-0,5}+(-0,5ax+0,5)(ax^{2}-2x)^{-1,5}[/mm]
>
1.) Du hast beim 2. Summanden das Nachdifferenzieren vergessen!
Daher:
f''(x) = [mm] a*(ax^{2}-2x)^{-0,5} [/mm] - [mm] (ax-1)^{2})(ax^{2}-2x)^{-1,5}
[/mm]
2.) Zu Deiner Frage bezüglich "zusammenfassen":
Du kannst es erst mal in Form von Bruchtermen schreiben und dann zu einem einzigen Bruchterm zusammenfassen:
f''(x) = [mm] \bruch{a}{\wurzel{ax^{2}-2x}} [/mm] - [mm] \bruch{(ax-1)^{2}}{(ax^{2}-2x)*\wurzel{ax^{2}-2x}} [/mm]
= [mm] \bruch{a*(ax^{2}-2x) - (ax-1)^{2}}{(ax^{2}-2x)*\wurzel{ax^{2}-2x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{a^{2}x^{2}-2ax - a^{2}x^{2} +2ax - 1}{(ax^{2}-2x)*\wurzel{ax^{2}-2x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{- 1}{(ax^{2}-2x)*\wurzel{ax^{2}-2x}}
[/mm]
Also: Die Kurve ist in allen zusammenhängenden Intervallen ihres Definitionsbereichs rechtsgekrümmt; es gibt keine Wendepunkte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 10.05.2005 | | Autor: | aingob |
also wenn ich die 1. Ableitung
[mm] f'(x)=\bruch{ax-1}{\wurzel{ax^{2}-2x}}
[/mm]
habe, bekomme ich die Nullstelle
[mm] x_0=\bruch{1}{a}
[/mm]
jetzt frag ich mich, wie ich da die Extremwert(e) und die Monotonie angebe??
gruß ingo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 10.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Ingo,
nun ja, du weißt ja schon aus der Antwort von Zwerglein, dass die Funktion immer rechtsgekrümmt ist (in ihrem Definitionsbereich). Von daher kannst du direkt aus [mm] $f'\left(\frac{1}{a}\right)=0$ [/mm] folgern, dass ein Hochpunkt vorliegt.
Für die Monotonie musst du ja überprüfen in welchen Bereichen [mm] $f'(x)\ge [/mm] 0$ bzw. [mm] $f'(x)\le [/mm] 0$ gilt. Oder du überlegst einfach, was du daraus folgern kannst, dass die Funktion genau einen Hochpunkt hat.
Max
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Hallo aingob,
> und als kleines Zusatzproblem: Wie bestimme ich da am
> einfachsten die Werte- und Definitionsmenge?? Da muss ich
> doch eine Fallunterscheidung für a machen oder?? Mehr fehlt
> da total der richtige Ansatzgedanke.
Ja. Der Ausdruck [mm]\sqrt {a\;x^2 \; - \;x} [/mm] ist ja nur definiert, wenn [mm]a\;x^{2} \; - \;x\; \ge \;0[/mm]. Hier ist der gesamte Ausdruck zu untersuchen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 10.05.2005 | | Autor: | aingob |
[mm] ax^{2}-2x \ge0
[/mm]
Daraus ergibt sich bei mir
D= [mm] \IR [/mm] und [mm] W=\IR_0^+ [/mm] für a>0
[mm] D=\{x | x\ge-2 \} [/mm] und [mm] W=\IR_0^+ [/mm] für a=0
und was ist wenn a negativ ist???
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Hallo aingob,
Um die Ungleichung [mm] $ax^2-2x \ge [/mm] 0$ zu lösen, betrachtest du am besten zuerst, wann die Gleichheit gilt.
[mm] $ax^2-2x=0 \gdw [/mm] x(ax-2)=0 [mm] \Rightarrow x_1=0; x_2=\frac{2}{a}$ [/mm] für [mm] $a\not=0$
[/mm]
Für $a>0$ ist der Graph von [mm] $ax^2-2x$ [/mm] eine nach oben geöffnete Parabel, womit der Bereich zwischen den Nullstellen negativ, und der rest positiv ist.
Für $a<0$ ist der Graph eine nach unten geöffnete Parabel, womit ausschließlich der Bereich zwischen den Nullstellen positiv ist.
Für $a=0$ vereinfacht sich die Ungleichung zu $-2x [mm] \ge [/mm] 0$, diese ist für alle nicht positiven reellen Zahlen erfüllt.
Insgesammt erhällst du somit:
[mm]D=\begin{cases} \{ x\in\IR | x \le 0\,\, \vee\,\,\frac{2}{a} \le x \}=(-\infty;0] \cup [\frac{2}{a};+\infty) & \mbox{für } a>0 \\ \{x\in\IR | x \le 0 \} = \IR^{-}_0 & \mbox{für } a = 0 \\ \{ x\in\IR | 0 \le x \le \frac{2}{a} \}= [0;\frac{2}{a}] & \mbox{für } a<0 \end{cases}[/mm]
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Di 10.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Teletubby,
> Für [mm]a<0[/mm] ist der Graph eine nach unten geöffnete Parabel,
> womit ausschließlich der Bereich zwischen den Nullstellen
> positiv ist.
> [mm]D=\begin{cases} \{ x\in\IR | x \le 0\,\, \vee\,\,\frac{2}{a} \le x \}=(-\infty;0] \cup [\frac{2}{a};+\infty) & \mbox{für } a>0 \\ \{x\in\IR | x \le 0 \} = \IR^{-}_0 & \mbox{für } a = 0 \\ \{ x\in\IR | 0 \le x \le \frac{2}{a} \}= [0;\frac{2}{a}] & \mbox{für } a<0 \end{cases}[/mm]
Bitte beachte, dass für a < 0 der Wert [mm] \bruch{2}{a} [/mm] auch negativ ist!
Daher ist die Definitionsmenge in diesem Fall das Intervall
[mm] [\bruch{2}{a} [/mm] ; 0].
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