Ableitung einer Log-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = ln(1+x²)
Bilde die erste und zweite Ableitung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aber, wie mache ich das?
Ich habe wirklich keine Ahnung, da mir so eine Aufgabe noch nie vor die Augen gekommen ist.
Man kann es ja nicht ausmultiplizieren oder ähnliches, deshalb weiß ich nicht, wie ich es ableiten soll.
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Ja, danke, bisher habe ich nur gelesen, nie selbst geschrieben. ^^
Für die zweite muss ich mit der Quotientenregel vorgehen?
Also muss ich einen Bruch herausbekommen...
Also, nach deinen Anregungen habe ich erstmal alle Ableitungen gebildet. Die Ableitung von 1+x² ist 2x, das ist dann also die Innere Ableitung.
Dann wären die Äußeren (ln 1)' + (ln x²)'
Also 1/1 und 1/x².
Oder nicht?
Wie komme ich da auf einen Bruch?
Muss ich die danach noch einmal multiplizieren und nicht addieren?
Also, die Ableitungen bilden kann ich, aber die Anordnung ist mir irgendwie schleierhaft...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Di 18.04.2006 | | Autor: | yalu |
> Für die zweite muss ich mit der Quotientenregel vorgehen?
> Also muss ich einen Bruch herausbekommen...
> Also, nach deinen Anregungen habe ich erstmal alle
> Ableitungen gebildet. Die Ableitung von 1+x² ist 2x, das
> ist dann also die Innere Ableitung.
ganz genau !! Die Kettenregel besagt ja, dass wenn du eine verschachtelte Funktion ableitest - also z.B. f(g(x)) , dass du zunächst einmal die äußere Funktion ableiten musst, dann die Innere und dann diese beiden Ableitungen mit einander multiplizierst;
also wäre die Ableitung von f(g(x)) offensichtlich f'(g(x)) * g'(x)
Wir sollten nochmal zusammen an der ersten Ableitung basteln, weil ich den Eindruck habe, dass es da noch ein bißchen hakt.
Also wir haben die Funktion [mm] ln(1+x^{2}).
[/mm]
Die äußere Funktion ist offensichtlich die Log-Funktion - und wie du gelernt hast, ist die Ableitung von log(x) = [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
Die innere Funktion ist ( 1 + [mm] x^{2} [/mm] ) - die Ableitung hiervon hast du schon richtig bestimmt - die ist nämlich genau 2x.
So - und nun musst du diese beiden Ableitungen miteinander verknüpfen durch Multiplikation und erhälst die erste Ableitung von [mm] ln(1+x^{2}).
[/mm]
Ich mache dir mal ein Beispiel vor:
sin ( 3x² )
äußere Funktion: sin ( 3x² ) - Ableitung zunächst: cos ( 3x² )
innere Funktion: 3x² - Ableitung hiervon: 6x
Also ist die Ableitung (formal: d/dx) von sin ( 3x² ) = cos ( 3x² ) * 6x
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.
Wenn du nach diesem Schema deine Log-Funktion ableitest bekommst du einen Bruch - willst du diesen Bruch nochmal ableiten, brauchst du die Quotientenregel.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lindknecht!
Dein Fehler ist folgender: Du darfst die Summe in einem Logarithmus nicht in zwei einzelne Logarithmen auseinander ziehen, da i.allg. gilt: [mm] $\log(a+b) [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \log(a)+\log(b)$ [/mm] !!
Gruß
Loddar
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Ah, okay, das war mein Fehler.
Dann wäre es theoretisch also:
2x / 1+x²
oder?
Denn wenn ich die beiden Logs nicht auseinander nehme, kommt 1/1+x² raus, multipliziert mit den 2x aus der anderen Ableitung kommt dann das oben genannte raus.
Super, danke auch an Yalu!
Problem gelöst...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lindknecht!
Nun stimmt Deine erste Ableitung! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und ... wie sieht die 2. Ableitung $f''(x)_$ aus?
Gruß
Loddar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Kettenregel