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Forum "Differentiation" - Ableitung einer Gleichung (!)
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Ableitung einer Gleichung (!): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 So 07.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
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Bestimme dy/dx wenn y³+4x²+xy=4+y ist.


<br>
Hallo, mich irritiert, dass ich hier eine Gleichung ableiten soll. (Es ist sicher kein Druckfehler, weil wir mehrere Aufgaben der Form bekommen haben.)

Leitet man dann beide Seiten getrennt nach x ab, also 8x+y=0?

Oder muss man die Gleichung erst nach y auflösen, damit man eine Funktion y(x) hat und diese dann ableiten?

Vielleicht geht es ja auch ganz anders, bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
Ableitung einer Gleichung (!): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 07.02.2021
Autor: statler

Hallo!

> <br>
>  Bestimme dy/dx wenn y³+4x²+xy=4+y ist.
>  
> <br>
>  Hallo, mich irritiert, dass ich hier eine Gleichung
> ableiten soll. (Es ist sicher kein Druckfehler, weil wir
> mehrere Aufgaben der Form bekommen haben.)
>  
> Leitet man dann beide Seiten getrennt nach x ab, also
> 8x+y=0?

Im Prinzip schon, aber nicht so.

> Oder muss man die Gleichung erst nach y auflösen, damit
> man eine Funktion y(x) hat und diese dann ableiten?

Das dürfte schwierig werden, weil es wahrscheinlich keine Funktion ist, sondern eher eine Kurve. Und eine Gleichung 3. Grades umzustellen erfordert i. a. weitergehende Kenntnisse.

>  
> Vielleicht geht es ja auch ganz anders, bin für jeden Tipp
> dankbar.

Zu meiner Schulzeit hieß das 'implizites Ableiten', da sind die Ketten- und die Produktregel gefordert, weil ja y eine Funktion der unabhängigen Variablen x ist. Du hast oben so getan, als wäre y konstant.

Jetzt kannst du den nächsten Versuch machen ...

Gruß Dieter


Bezug
                
Bezug
Ableitung einer Gleichung (!): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 So 07.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
<br>
 


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Hallo und danke für die schnelle Antwort. Mit dem Tipp für implizites Ableiten habe ich die Gleichung zunächst auf null gebracht:

y³+4x²+xy-4-y = 0

Dann habe ich es als Funktion zweier Variablen geschrieben:

f(x,y)=y³+4x²+xy-4-y

Dann habe ich die beiden partiellen Ableitungen berechnet:

fx = df/dx (x,y) = 8x+y
fy = df/dy (x,y) = 3y²+x-1

Schließlich habe ich gefunden, dass f'(x)=-fx/fy ist, also

f'(x)=-(8x+y)/(3y²+x-1)

Ist das soweit dann korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Ableitung einer Gleichung (!): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 07.02.2021
Autor: statler


> <br>
>   
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> <br>
>  
> Hallo und danke für die schnelle Antwort. Mit dem Tipp
> für implizites Ableiten habe ich die Gleichung zunächst
> auf null gebracht:

Schönes Deutsch!
  

> y³+4x²+xy-4-y = 0
>  
> Dann habe ich es als Funktion zweier Variablen
> geschrieben:
>  
> f(x,y)=y³+4x²+xy-4-y

Du untersuchst aber das Nullstellengebilde $f(x,y) = 0$. Das ist für einen pingeligen Mathematiker nicht ganz korrekt formuliert, für einen pragmatischen Physiker oder Ingenieur geht das durch.
Deine obige Gleichung ist (d)eine Definition der Funktion $f$:
$f(x,y) := [mm] y^{3}+4x^{2}+xy-4-y$ [/mm]

>  
> Dann habe ich die beiden partiellen Ableitungen berechnet:
>  
> fx = df/dx (x,y) = 8x+y
>  fy = df/dy (x,y) = 3y²+x-1
>  
> Schließlich habe ich gefunden, dass f'(x)=-fx/fy ist,
> also
>  
> f'(x)=-(8x+y)/(3y²+x-1)
>  
> Ist das soweit dann korrekt?

Ich hatte mir das etwas anders gedacht, nämlich
[mm] $3y^{2}y' [/mm] + 8x  + (y + xy') -y' = 0$
und dann nach $y'$ umgestellt, aber dein Weg geht auch.


Bezug
        
Bezug
Ableitung einer Gleichung (!): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 Mo 08.02.2021
Autor: HJKweseleit

y³+4x²+xy=4+y

Am einfachsten wendest du auf beide Seiten den d-Operator an:
Du leitest jeden Ausdruck partiell sowohl nach x wie auch nach y ab und schreibst hinter jeden abgeleiteten Term dann dx bezw. dy als Faktor.

detailliert: [mm] y^3 [/mm] wird zu [mm] 3y^2*dy+0*dx [/mm]
             [mm] 4x^2 [/mm] wird zu 0*dy + 8x*dx
             xy wird zu x*1*dy + y*1*dx
             4 wird zu 0*dy + 0*dx
             y wird zu 1*dy + 0*dx

oder - jetzt ganz einfach direkt hinzuschreiben, wenn man es einmal verstanden hat:

[mm] 3y^2 [/mm] dy + 8xdx + xdy + ydx = dy

Sortiert: [mm] (3y^2 [/mm] + x - 1)dy = - (8x + y)dx und damit

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{8x + y}{3y^2 + x - 1} [/mm]

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