Ableitung durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 02.01.2011 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = [mm] \wurzel{R^{2} - r^{2}} [/mm] das bestimmte Integral: F = [mm] \integral_{0}^{R}{ r*\wurzel{R^{2} - r^{2}} dr} [/mm] |
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man per Hand die Ableitung von [mm] \wurzel{R^{2} - r^{2}} [/mm] berechnet. Führt man da noch eine weitere Substitution durch oder wie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mo 03.01.2011 | | Autor: | krueemel |
vielen Dank, das hat schonmal ganz gut geklappt:
[mm] \bruch{-x}{\wurzel{R^{2}-x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{dt}{dx}
[/mm]
Nun muss ich dies in das Integral einsetzen:
[mm] \integral_{0}^{R}{r*t dr}
[/mm]
Doch wie löse ich das nun am geschicktesten?
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> vielen Dank, das hat schonmal ganz gut geklappt:
> [mm]\bruch{-x}{\wurzel{R^{2}-x^{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm]
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> Nun muss ich dies in das Integral einsetzen:
> [mm]\integral_{0}^{R}{r*t\ dr}[/mm]
> Doch wie löse ich das nun am
> geschicktesten?
Hallo krueemel,
die in der Aufgabenstellung angegebene Substitution ist
etwas gesucht. Setze lieber [mm] t:=R^2-r^2 [/mm] oder, mit der
Variablen $\ x$ geschrieben: [mm] t:=R^2-x^2 [/mm] !
Wenn du trotzdem bei dem vorgegebenen Ratschlag bleiben
willst: entscheide dich ebenfalls, welche Variable ($\ r$ oder $\ x$)
du verwenden willst. Löse die Transformationsgleichung für
die Differentiale nach $\ dx$ auf und beachte dabei, dass die
Wurzel gerade dem $\ t$ entspricht. Nach dem Einsetzen
in das Integral hat man:
[mm] $\integral x*t\,*\,dx\ [/mm] =\ [mm] \integral x*t*\underbrace{\left(\,-\,\frac{t}{x}\,\right)\ dt}_{dx}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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Potenzregel