Ableitung berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Berechnen Sie die Ableitung von f(x)=cot(x) |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie die Ableitung von [mm] f:\IC->\IC [/mm] mit [mm] f(z)=5z^3-2z [/mm] |
| Aufgabe 3 | | Berechnen Sie die Ableitung von [mm] f:(-\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{4})->\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}(sin(x))^n^2 [/mm] |
So, bei diesen 3 Aufgaben habe ich Probleme.
Zur ersten Aufgabe: Diese Aufgabe habe ich mit Hilfe der Quotientenregel gelöst, davor hab ich cot(x) durch [mm] \bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm] umgeschrieben. Hat alles geklappt und ich habe auch die richtige Ableitung [mm] heraus(\bruch{-1}{sin(x)^2}), [/mm] aber ich möchte diese Aufgabe auch mit Hilfe der Limes-Definition der Differenzielrechnung lösen.
Also dann haben wir:
[mm] \limes_{n\rightarrowa}= \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] (Beim Limes geht x gegen a)
Dann habe ich die Funktion eingesetzt und oben erweitert
[mm] \bruch{\bruch{cos(x)sin(a)}{sin(x)sin(a)}-\bruch{cos(a)sin(x)}{sin(a)sin(x)}}{x-a}
[/mm]
Dann zusammenschreiben und dann kann man die Additionstheoreme benutzen:
[mm] \limes_{n\rightarrowa}=\bruch{\bruch{sin(x-a)}{sin(x)sin(a)}}{x-a}(Limes [/mm] geht gegen a)
So, jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wenn ich für x a einsetze, dann da nicht definiert oder 0 heraus und das ist ja beides falsch. Wie kann man den Term noch umformen bzw. vereinfachen, sodass das richtige Ergebnis herauskommt?Oder habe ich schon einen Fehler bei der Umrechnung gemacht?
Zur zweiten Aufgabe:
Ich habe noch keine Funktionen im Komplexen abgeleitet. Kann ich die Funktion nach den normalen Gesetzen ableiten, also [mm] 15*z^2-2? [/mm] Ich glaube nicht. Was muss man hier machen? Vielleicht z als x+iy schreiben und dann in Realteil und Imiginärteil splitten?
Zur dritten Aufgabe:
Hier stört mich das Summenzeichen, da ich nicht weiß, wie man dass ableiten kann. Muss man bestimmt umformen. Kann mir jemand helfen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 11.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die Ableitung von f(x)=cot(x)
> Berechnen Sie die Ableitung von [mm]f:\IC->\IC[/mm] mit
> [mm]f(z)=5z^3-2z[/mm]
> Berechnen Sie die Ableitung von
> [mm]f:(-\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{4})->\IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}(sin(x))^n^2[/mm]
> So, bei diesen 3 Aufgaben habe ich Probleme.
> Zur ersten Aufgabe: Diese Aufgabe habe ich mit Hilfe der
> Quotientenregel gelöst, davor hab ich cot(x) durch
> [mm]\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm] umgeschrieben. Hat alles geklappt
> und ich habe auch die richtige Ableitung
> [mm]heraus(\bruch{-1}{sin(x)^2}),[/mm] aber ich möchte diese
> Aufgabe auch mit Hilfe der Limes-Definition der
> Differenzielrechnung lösen.
> Also dann haben wir:
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}= \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm]
> Dann habe ich die Funktion eingesetzt und oben erweitert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{\bruch{cos(x)sin(a)}{sin(x)sin(a)}-\bruch{cos(a)sin(x)}{sin(a)sin(x)}}{x-a}[/mm]
> Dann zusammenschreiben und dann kann man die
> Additionstheoreme benutzen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{\bruch{sin(x-a)}{sin(x)sin(a)}}{x-a}[/mm]
Fast richtig, es muss [mm] $\sin(a-x)$ [/mm] heißen.
> So, jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wenn ich für x a
> einsetze, dann da nicht definiert oder 0 heraus und das ist
> ja beides falsch. Wie kann man den Term noch umformen bzw.
> vereinfachen, sodass das richtige Ergebnis herauskommt?Oder
> habe ich schon einen Fehler bei der Umrechnung gemacht?
Du kannst den Limes so umschreiben:
[mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{\bruch{\sin(a-x)}{\sin(x)\sin(a)}}{x-a} = \limes_{x\rightarrow a} \bruch{1}{\sin x \sin a} * \bruch{-\sin (x-a)}{x-a} [/mm].
Beachte, dass der Faktor [mm] $\bruch{1}{\sin x \sin a}$ [/mm] immer endlich ist, sofern [mm] $\sin x\not=0\not \sin [/mm] a$ ist, und daher getrennt betrachtet werden darf:
[mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{1}{\sin x \sin a} * \bruch{-\sin (x-a)}{x-a} = - \bruch{1}{\sin^2 a} \limes_{x\rightarrow a} \bruch{\sin (x-a)}{x-a}[/mm].
>
> Zur zweiten Aufgabe:
> Ich habe noch keine Funktionen im Komplexen abgeleitet.
> Kann ich die Funktion nach den normalen Gesetzen ableiten,
> also [mm]15*z^2-2?[/mm] Ich glaube nicht. Was muss man hier machen?
> Vielleicht z als x+iy schreiben und dann in Realteil und
> Imiginärteil splitten?
Das kannst du tun, aber auch hier kannst du den Grenzwert des Differenzenquotienten betrachten.
> Zur dritten Aufgabe:
> Hier stört mich das Summenzeichen, da ich nicht weiß,
> wie man dass ableiten kann. Muss man bestimmt umformen.
Wenn es eine endliche Summe wäre, könntest du die Summanden einzeln ableiten (Ableitung einer Summe ist SUmme der Ableitungen).
Die Frage ist also: gilt das auch für eine unendliche Reihe? Was weisst du über die Konvergenz von Reihen und ihrer Umordnungen?
Viele Grüße
Rainer
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