Ableitung Wurzel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Zaibatsi |
| Aufgabe | Bilden der 1. Ableitung:
y = [mm] \bruch{x^{3}}{\wurzel[3]{3x^{2}-1}} [/mm] |
u(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
v(x) = [mm] \wurzel[3]{3x^{2}-1} [/mm] = [mm] (3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
u'(x) = [mm] 3x^{2}
[/mm]
v'(x) = F'(k) * k'(x) = [mm] \bruch{1}{3} (3x^{2}-1)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] * 6x
F = [mm] \wurzel[3]{k(x)}
[/mm]
F' = [mm] \bruch{1}{3} k(x)^{\bruch{-2}{3}}
[/mm]
k(x) = [mm] 3x^{2}-1
[/mm]
k'(x) = 6x
y' = [mm] \bruch{ u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{[v(x)]^{2}}
[/mm]
Ich weiß leider nicht, ob die Schreibweise mit F und k(x) so richtig ist... Sorry dafür.
Eingesetzt bekomme ich folgenden Term:
[mm] \bruch{3x^{2} * (3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}} - x^{3} * (\bruch{1}{3} (3x^{2}-1)^{\bruch{-2}{3}} * 6x) }{((3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}})^{2}}
[/mm]
errechne daraus dann:
[mm] \bruch{(9x^{4}-3x^{2})^{\bruch{1}{3}}-(6x^{6}-2x^{4})^{\bruch{-2}{3}}}{((3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}})^{2}}
[/mm]
komme damit jedoch nicht weiter.
Entweder
A) Ich habe etwas mit den Potenzen falsch gemacht. Vielleicht kann mir das ja jemand schrittweise vorführen?
oder
B) Ich muss noch etwas machen, was ich nicht sehe... Ich hab es auch mit Ausklammern von X probiert, hat mich jedoch auch nicht weiter gebracht.
Das Ergebnis soll sein:
y' = [mm] \bruch{x^{2} * (7x^{2}-3)}{(3x^{2}-1)^{\bruch{4}{3}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Sa 08.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Bilden der 1. Ableitung:
>
> y = [mm]\bruch{x^{3}}{\wurzel[3]{3x^{2}-1}}[/mm]
> u(x) = [mm]x^{3}[/mm]
> v(x) = [mm]\wurzel[3]{3x^{2}-1}[/mm] = [mm](3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> u'(x) = [mm]3x^{2}[/mm]
> v'(x) = F'(k) * k'(x) = [mm]\bruch{1}{3} (3x^{2}-1)^{\bruch{-2}{3}}[/mm]
> * 6x
>
> F = [mm]\wurzel[3]{k(x)}[/mm]
> F' = [mm]\bruch{1}{3} k(x)^{\bruch{-2}{3}}[/mm]
> k(x) = [mm]3x^{2}-1[/mm]
> k'(x) = 6x
>
> y' = [mm]\bruch{ u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{[v(x)]^{2}}[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht, ob die Schreibweise mit F und k(x)
> so richtig ist... Sorry dafür.
>
> Eingesetzt bekomme ich folgenden Term:
> [mm]\bruch{3x^{2} * (3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}} - x^{3} * (\bruch{1}{3} (3x^{2}-1)^{\bruch{-2}{3}} * 6x) }{((3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}})^{2}}[/mm]
>
> errechne daraus dann:
>
> [mm]\bruch{(9x^{4}-3x^{2})^{\bruch{1}{3}}-(6x^{6}-2x^{4})^{\bruch{-2}{3}}}{((3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}})^{2}}[/mm]
... und damit hast du dir den Term für weitere Vereinfachung "versaut".
Vorher hattest du in Zähler und Nenner noch Potenzen von [mm] 3x^{2}-1.
[/mm]
Wenn du im Zähler [mm] (3x^{2}-1)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] ausgeklammert hättest, wäre dein Nenner schon der, der auch in der Musterlösung steht.
Gruß Abakus
>
> komme damit jedoch nicht weiter.
> Entweder
> A) Ich habe etwas mit den Potenzen falsch gemacht.
> Vielleicht kann mir das ja jemand schrittweise vorführen?
> oder
> B) Ich muss noch etwas machen, was ich nicht sehe... Ich
> hab es auch mit Ausklammern von X probiert, hat mich jedoch
> auch nicht weiter gebracht.
>
> Das Ergebnis soll sein:
> y' = [mm]\bruch{x^{2} * (7x^{2}-3)}{(3x^{2}-1)^{\bruch{4}{3}}}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Zaibatsi |
Kann ich diesen Vereinfachungsschritt evtl. näher erläutert bekommen? Vielleicht liegt an der Uhrzeit, aber ich komm nicht dahinter...
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Hallo
[mm] \bruch{3x^{2}*(3x^{2}-1)^{\bruch{1}{3}} - x^{3}*\bruch{1}{3} (3x^{2}-1)^{-\bruch{2}{3}}*6x}{(3x^{2}-1)^{\bruch{2}{3}}}
[/mm]
jetzt im Zähler [mm] (3x^{2}-1)^{-\bruch{2}{3}} [/mm] ausklammern
[mm] \bruch{[(3x^{2}-1)^{-\bruch{2}{3}}]*[3x^2(3x^2-1)-2x^4]}{(3x^{2}-1)^{\bruch{2}{3}}}
[/mm]
nun kümmere dich um den ausgeklammerten Faktor, negativer Exponent
achja in deiner Musterlösung ist ein (Schreib)Fehler
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Zaibatsi |
Nochmals vielen Dank.
Hat mir sehr sehr geholfen! Auch bei anderen Aufgaben :)
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