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Ableitung Parameterintegral: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Sa 29.05.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Für $a < b$ aus [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sei

$K: ]a,b[ [mm] \times [/mm] [a,b] [mm] \to \mathbb{R}, [/mm] (x,t) [mm] \to [/mm] K(x,t)$

eine stetige Funktion, die nach $x$ partiell diffefrenzierbar ist. Weiterhin sei angenommen, dass die partielle Ableitung [mm] $\frac{\partial K}{\partial x}$ [/mm] auf ]a,b[ [mm] \times [/mm] [a,b] stetig ist. Zeigen Sie, dass die Funktion

$f: ]a,b[ [mm] \to \mathbb{R}, [/mm] f(x) := [mm] \integral_{a}^{x}{K(x,t) dt} [/mm]

differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von $f$. (Hinweis: Betrachten Sie die Hilfsfunktion $g: ]a,b[ [mm] \times [/mm] ]a,b[ [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] mit

$g(y,z) := [mm] \integral_{a}^{y}{K(z,t) dt}$ [/mm]

und verwenden Sie die Kettenregel.)



Hallo,
ich suche für diese Aufgabe einen Ansatz. Ich gehe davon aus, dass die Leibnizsche Regel hier relevant ist:

"Sei $M$ eine nichtleere, offene Teilmenge von [mm] $R^n$, [/mm] und für [mm] $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] < [mm] \beta$ [/mm] sei $G := M [mm] \times [\alpha,\beta] [/mm] = [mm] \{\vektor{x \\ t} \in \mathbb{R}^{n+1} | x \in M, t \in [\alpha, \beta] \}$. [/mm] Ferner sei

$K : G [mm] \to \mathbb{R}, \vektor{x \\ t} \to [/mm] K(x,t)$

eine auf $G$ stetige Funktion. Wenn die partiellen Ableitungen von $K$ nach den Korrdinaten [mm] $x_1, [/mm] ..., [mm] x_n$, [/mm] also die Funktionen

$D_1K : G [mm] \to \mathbb{R}, [/mm] ..., D_nK : G [mm] \to \mathbb{R}$, [/mm]

existieren und stetig sind, dann ist durch

$F(x) := [mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{K(x,t) dt}$ [/mm]

eine stetig differenzierbare Funktion $F: M \ [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] gegeben, und deren partielle Ableitungen $D_vF : M [mm] \to \mathbb{R} [/mm] (v=1, ..., n)$ erfüllen

$D_vF(x) = [mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{D_vK(x,t) dt}$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] M$."

Wie ist das mit der Kettenregel zu verstehen? In der Leibnizschen Regel ist die obere Integrationsgrenze fest. Klar kann ich jetzt setzen $K(x) = g(x,x)$, aber dann ist die Integrationsgrenze ja plötzlich variabel und die Regel nicht anwendbar. Wie ist das mit der Kettenregel zu verstehen?
Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Ableitung Parameterintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 So 30.05.2021
Autor: fred97


> Für [mm]a < b[/mm] aus [mm]\mathbb{R}[/mm] sei
>  
> [mm]K: ]a,b[ \times [a,b] \to \mathbb{R}, (x,t) \to K(x,t)[/mm]
>  
> eine stetige Funktion, die nach [mm]x[/mm] partiell diffefrenzierbar
> ist. Weiterhin sei angenommen, dass die partielle Ableitung
> [mm]\frac{\partial K}{\partial x}[/mm] auf ]a,b[ [mm]\times[/mm] [a,b] stetig
> ist. Zeigen Sie, dass die Funktion
>  
> $f: ]a,b[ [mm]\to \mathbb{R},[/mm] f(x) := [mm]\integral_{a}^{x}{K(x,t) dt}[/mm]
>  
> differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von [mm]f[/mm].
> (Hinweis: Betrachten Sie die Hilfsfunktion [mm]g: ]a,b[ \times ]a,b[ \to \mathbb{R}[/mm]
> mit
>  
> [mm]g(y,z) := \integral_{a}^{y}{K(z,t) dt}[/mm]
>  
> und verwenden Sie die Kettenregel.)
>  
>
> Hallo,
>  ich suche für diese Aufgabe einen Ansatz. Ich gehe davon
> aus, dass die Leibnizsche Regel hier relevant ist:
>  

Ja, die wird nötig sein.


> "Sei [mm]M[/mm] eine nichtleere, offene Teilmenge von [mm]R^n[/mm], und für
> [mm]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/mm] mit [mm]\alpha < \beta[/mm] sei [mm]G := M \times [\alpha,\beta] = \{\vektor{x \\ t} \in \mathbb{R}^{n+1} | x \in M, t \in [\alpha, \beta] \}[/mm].
> Ferner sei
>  
> [mm]K : G \to \mathbb{R}, \vektor{x \\ t} \to K(x,t)[/mm]
>  
> eine auf [mm]G[/mm] stetige Funktion. Wenn die partiellen
> Ableitungen von [mm]K[/mm] nach den Korrdinaten [mm]x_1, ..., x_n[/mm], also
> die Funktionen
>  
> [mm]D_1K : G \to \mathbb{R}, ..., D_nK : G \to \mathbb{R}[/mm],
>  
> existieren und stetig sind, dann ist durch
>  
> [mm]F(x) := \integral_{\alpha}^{\beta}{K(x,t) dt}[/mm]
>  
> eine stetig differenzierbare Funktion [mm]F: M \ \to \mathbb{R}[/mm]
> gegeben, und deren partielle Ableitungen [mm]D_vF : M \to \mathbb{R} (v=1, ..., n)[/mm]
> erfüllen
>  
> [mm]D_vF(x) = \integral_{\alpha}^{\beta}{D_vK(x,t) dt}[/mm] für [mm]x \in M[/mm]."
>  
> Wie ist das mit der Kettenregel zu verstehen? In der
> Leibnizschen Regel ist die obere Integrationsgrenze fest.
> Klar kann ich jetzt setzen [mm]K(x) = g(x,x)[/mm],


Hä ? Es ist doch g(x,x)=f(x). Die Differentiation von f erledigst Du mit der Differentiation von g mit Hilfe der Kettenregel. Leibniz nicht  vergessen!



> aber dann ist die
> Integrationsgrenze ja plötzlich variabel und die Regel
> nicht anwendbar. Wie ist das mit der Kettenregel zu
> verstehen?
>  Danke und Gruß,
>  Martin


Bezug
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