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| Aufgabe | Hier die Stammfunktion:
x²-a² / x²+a² |
Hier nun der erste Rechenschritt zur Ableitung:
2x(x²+a²)-(x²-a²)*2 / (x²+a²)²
Nun würde ich ausklammern und mit dem Nenner kürzen, der Lösungsweg sagt leider etwas anderes....????
Es ist mir nicht klar warum nicht ausgeklammert werden darf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jennifer.obermeyer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Über ein freundliches "Hallo" freuen wir uns auch.
> Hier die Stammfunktion:
> x²-a² / x²+a²
Die lautet korrekt: [mm]\bruch{x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}[/mm]
> Hier nun der erste Rechenschritt zur Ableitung:
> 2x(x²+a²)-(x²-a²)*2 / (x²+a²)²
>
Das stimmt nicht ganz:
[mm]\bruch{2x*\left(x^{2}+a^{2}\right)-\left(x^{2}-a^{2}\right)*2\red{x}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}[/mm]
> Nun würde ich ausklammern und mit dem Nenner kürzen, der
> Lösungsweg sagt leider etwas anderes....????
>
> Es ist mir nicht klar warum nicht ausgeklammert werden
> darf.
>
Bevor Du ausklammern kannst, musst Du hier zuerst ausmultiplizieren.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Ebenso freuen wir uns über einen Gruss.
Gruss
MathePower
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Dankeschön :), genau dies verät mein Lösungsweg auch... an dieser Stelle muss ausmultipliziert werden! Leider weiß ich jetzt immer noch nicht mehr... ich hätte gerne eine Regel dazu.
Ich habe erst gestern meine erste Ableitung gemacht, daher fehlt es nicht an den Formeln, sondern eher an grundlegenden Regeln.
Bevor ausgeklammert werden kann, muss ausmultipliziert werden!
Nehmen wir aber mal an die Ableitung sieht so aus:
> 2x(x²+a²)³-(x²-a²)*2X / (x²+a²)²
...dann muss aufgrund des Exponenten³ erst ausgeklammert werden?
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Hallo jennifer.obermeyer,
> Dankeschön :), genau dies verät mein Lösungsweg auch...
> an dieser Stelle muss ausmultipliziert werden! Leider weiß
> ich jetzt immer noch nicht mehr... ich hätte gerne eine
> Regel dazu.
>
> Ich habe erst gestern meine erste Ableitung gemacht, daher
> fehlt es nicht an den Formeln, sondern eher an
> grundlegenden Regeln.
>
> Bevor ausgeklammert werden kann, muss ausmultipliziert
> werden!
>
Dazu gibt es keine allgemeine Regel.
> Nehmen wir aber mal an die Ableitung sieht so aus:
> > 2x(x²+a²)³-(x²-a²)*2X / (x²+a²)²
>
> ...dann muss aufgrund des Exponenten³ erst ausgeklammert
> werden?
>
Naürlich kannst Du zuerst den gemeinsamen Faktor 2x ausklammern,
bevor Du weiterrechnest.
Gruss
MathePower
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Das meinte ich nicht, ich versuche es jetzt mal ausführlicher darzustellen:
Beispiel 1
Stammfunktion:
[mm] \bruch{3x^2-8x}{(x-2)^2}
[/mm]
[mm] u=3x^2-8x
[/mm]
u´=6x-8
[mm] v=(x-2)^2
[/mm]
v´=2(x-2)1
[mm] \bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}
[/mm]
im nächsten Schritt wird nun ausgeklammert, bevor ausmultiplitziert wird... genau das ist es was ich bei der anderen Aufgabe nicht verstehe
[mm] \bruch{(x-2)((6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)2}{(x-2)^4}
[/mm]
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Hallo jennifer.obermeyer,
> Das meinte ich nicht, ich versuche es jetzt mal
> ausführlicher darzustellen:
>
> Beispiel 1
> Stammfunktion:
> [mm]\bruch{3x^2-8x}{(x-2)^2}[/mm]
>
> [mm]u=3x^2-8x[/mm]
> u´=6x-8
> [mm]v=(x-2)^2[/mm]
> v´=2(x-2)1
>
> [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}[/mm]
>
> im nächsten Schritt wird nun ausgeklammert, bevor
> ausmultiplitziert wird... genau das ist es was ich bei der
> anderen Aufgabe nicht verstehe
>
>
> [mm]\bruch{(x-2)((6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)2}{(x-2)^4}[/mm]
>
Hier wurde x-2 zur Rechenerleichterung ausgeklammert,
da es in beiden Summanden auftritt.
Gruss
MathePower
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Genau, warum war das in meinem Beispiel nicht möglich, dort tritt es doch auch in beiden Summanden auf?
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Hallo,
Prinzipiell befinde ich die Frage etwas konfus gestaltet.
Wieso sollte, nur weil man bei irgendwelchen Ausdrücken etwas herausheben, ausklammern, kürzen etc. kann das in deinem Beispiel auch unbedingt erforderlich/möglich sein?
MathePower hat dir ja bereits gesagt:
Multipliziere den Ausdruck , welcher dir vorliegt, einmal aus und dann sieh weiter ob man etwas ausklammern, rausheben usw. kann.
Gruß thomas
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Ich verstehe es einfach nicht!
Ausmultiplizieren dann ausklammern:
Im zweiten Beispiel kann ich bevor ich ausklammere die 2(x-2) ausmultiplizieren, ist das dann richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 So 25.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ich verstehe es einfach nicht!
>
> Ausmultiplizieren dann ausklammern:
> Im zweiten Beispiel kann ich bevor ich ausklammere die
> 2(x-2) ausmultiplizieren, ist das dann richtig?
Das macht doch keinen Sinn.
Du hast $ [mm] \bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4} [/mm] $
Wenn du 2(x-2) im hinteren Teil des Zählers ausmultiplizierst, löst du doch gerade den Faktor (x-2), den du hinterher ausklammern und kürzen willst, auf.
Du hast also:
$ [mm] \bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4} [/mm] $
(x-2) ausklammern
$ [mm] \bruch{(x-2)\cdot((6x-8)(x-2)-2(3x^2-8x))}{(x-2)^4} [/mm] $
Nun kannst du kürzen
$ [mm] \bruch{(6x-8)(x-2)-2(3x^2-8x)}{(x-2)^3} [/mm] $
Jetzt, da du im hinteren Teil des Zählers den Faktor x-2 nicht mehr kürzen kannst, multipliziere aus, beachte dabei die Minusklammer
Schau dir zu dem Thema mal folgende Links an:
http://www.strobl-f.de/m7.html
(Kapitel 7/3, 7/4 und 7/10)
http://www.strobl-f.de/m8.html
(Kapitel 8/6, 8/7 und 8/8)
http://www.strobl-f.de/m9.html
Kapitel 9/2
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 25.08.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo jennifer.obermeyer,
>
>
> > Das meinte ich nicht, ich versuche es jetzt mal
> > ausführlicher darzustellen:
> >
> > Beispiel 1
> > Stammfunktion:
> > [mm]\bruch{3x^2-8x}{(x-2)^2}[/mm]
> >
> > [mm]u=3x^2-8x[/mm]
> > u´=6x-8
> > [mm]v=(x-2)^2[/mm]
> > v´=2(x-2)1
> >
> > [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}[/mm]
> >
> > im nächsten Schritt wird nun ausgeklammert, bevor
> > ausmultiplitziert wird... genau das ist es was ich bei der
> > anderen Aufgabe nicht verstehe
Hallo Jennifer,
wenn dir dieser Schritt zu schwierig ist, dann schreiben wir einfach den Bruch mal als Differenz von zwei Brüchen mit gleichem Nenner:
[mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}=\bruch{(6x-8)(x-2)^2}{(x-2)^4}-\bruch{(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}[/mm]
Im letzten Bruch ist der Faktor (x-2) sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden. Somit kann dieser Bruch zu [mm]\bruch{(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}=\bruch{(3x^2-8x)*2}{(x-2)^3}[/mm] gekürzt werden. Auch der vordere Bruch kann mit (x-2) gekürzt werden: [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2}{(x-2)^4}=\bruch{(6x-8)(x-2)}{(x-2)^3}[/mm].
Somit gilt
[mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}=\bruch{(6x-8)(x-2)}{(x-2)^3}-\bruch{(3x^2-8x)*2}{(x-2)^3}[/mm]
Da die beiden hinteren Brüche wieder gleichnamig sind, kann man sie zu [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)*2}{(x-2)^3}[/mm] zusammenfassen. Es ist allerdings etwas umständlich, erst den Bruch zu zerlegen, dann die Einzelbrüche zu kürzen und danach die gekürzten Brüche wieder zu einem Bruch zusammenzufassen. Deshalb wurde in dem dir vorliegenden Beispiel SOFORT (x-2) aus der Differenz des Zählers ausgeklammert, um diesen Faktor mit einem Faktor (x-2) des Nenners zu kürzen.
JETZT ERST mach es Sinn, den Zähler durch Ausmultiplizieren und anschließendes Zusammenfassen noch etwas einfacher zu gestalten:
[mm] $(6x^2-12x-8x+16)-(6x^2-16x)$ [/mm] lässt sich noch etwas zusammenfassen.
Gruß Abakus
> >
> >
> > [mm]\bruch{(x-2)((6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)2}{(x-2)^4}[/mm]
> >
>
>
> Hier wurde x-2 zur Rechenerleichterung ausgeklammert,
> da es in beiden Summanden auftritt.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Super, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt ist es ganz klar! :)
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Hallo,
> Hier die Stammfunktion:
> x²-a² / x²+a²
Es ist immer eine korrekte Schreibweise (auch aus Gründen der Höflichkeit und Lesbarkeit wünschenswert).
Deine Stammfunktion müsste wohl etwa eher :
[mm]F(x) = \frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}[/mm] genauer: [mm]F(x) = \frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}+ C[/mm] lauten.
> Hier nun der erste Rechenschritt zur Ableitung:
> 2x(x²+a²)-(x²-a²)*2 / (x²+a²)²
naja diese Regel scheint dir trotz Rechenf. bekannt zu sein.
Resultat lt. Quotientenregel:
[mm]\frac{2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x}{(x^2+a^2)^2}[/mm]
>
> Nun würde ich ausklammern und mit dem Nenner kürzen, der
> Lösungsweg sagt leider etwas anderes....????
Was sagt der? was ist dein Ziel? - Die Ableitung steht da - sie zu vereinfachen ist reine Kosmetik.
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> Es ist mir nicht klar warum nicht ausgeklammert werden
> darf.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Teile uns doch mit was mit:
[mm]\frac{2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x}{(x^2+a^2)^2}[/mm] geschehen soll ?
Gruß Thomas
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