Ableitung Exponentialfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Um die Funktion $f(x) = [mm] x^x$ [/mm] abzuleiten, schreibt man fuer gewoehnlich die Funktion als $f(x) = [mm] e^{ln(x) * x}$.
[/mm]
Nun hab ich mal folgendes ausprobiert. Ich habe die Funktion $g(x,y) = [mm] x^y$ [/mm] genommen, wobei offensichtlich $g(x,x) = f(x) = [mm] x^x$ [/mm] ist. Und nun mal eine Ableitung als $g'(x,y) = [mm] \frac{\partial g}{\partial x} [/mm] + [mm] \frac{\partial g}{\partial y}$ [/mm] definiert.
Nun ist auch $g'(x,x) = f'(x)$. Ist das Zufall? Ich weiss auch nicht wie das mit dem totalen Differential zusammenhaengt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Sa 09.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Um die Funktion [mm]f(x) = x^x[/mm] abzuleiten, schreibt man fuer
> gewoehnlich die Funktion als [mm]f(x) = e^{ln(x) * x}[/mm].
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> Nun hab ich mal folgendes ausprobiert. Ich habe die
> Funktion [mm]g(x,y) = x^y[/mm] genommen, wobei offensichtlich [mm]g(x,x) = f(x) = x^x[/mm]
> ist. Und nun mal eine Ableitung als [mm]g'(x,y) = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y}[/mm]
> definiert.
Das ist eine Erfindung von Dir ! Üblicherweise ist die Ableitung einer Funktion von 2 Variablen ein Vektor !
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> Nun ist auch [mm]g'(x,x) = f'(x)[/mm]. Ist das Zufall? Ich weiss
> auch nicht wie das mit dem totalen Differential
> zusammenhaengt.
Nehmen wir mal die Funktion f , die konstant =1 ist und definieren für x,y>0:
[mm] g(x,y)=\bruch{x}{y}.
[/mm]
Dann ist g(x,x)=f(x).
Berechne Du nun: [mm] \frac{\partial g}{\partial x}(x,x) [/mm] + [mm] \frac{\partial g}{\partial y}(x,x).
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Sa 09.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Zusatz: sind h,u und v differenzierbare Funktionen und setzt man
f(x):=h(u(x)v(x))
und
g(x,y):=h(u(x)v(y))
so zeige
$ [mm] \frac{\partial g}{\partial x}(x,x) [/mm] $ + $ [mm] \frac{\partial g}{\partial y}(x,x)=f'(x) [/mm] $
Bei Dir ist [mm] h(t)=e^t, [/mm] u(x)=ln(x) und v(x)=x.
FRED
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