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| Aufgabe | | Berechnen sie die Ableitung der Funktion f: x-> x² - 4 x an der Stelle x0= 1 mit Hilfe des Differenzenquotienten (Differenzialquotient, Grenzübergang) |
Hallo!
Komme hier einfach nicht weiter... Glaube langsam, dass mein Ansatz stimmen müsste und ich nur irgendetwas übersehen habe...
Müsste ja dann theoretisch so aussehen:
lim [mm] \bruch{x²-4x+3}{x-1}
[/mm]
m(t)= x->x0
Aber wie weitermachen? Danke im Vorraus für jede Hilfe, Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Berechnen sie die Ableitung der Funktion f: x-> x² - 4 x
> an der Stelle x0= 1 mit Hilfe des Differenzenquotienten
> (Differenzialquotient, Grenzübergang)
> Hallo!
> Komme hier einfach nicht weiter... Glaube langsam, dass
> mein Ansatz stimmen müsste und ich nur irgendetwas
> übersehen habe...
> Müsste ja dann theoretisch so aussehen:
>
> lim [mm]\bruch{x²-4x+3}{x-1}[/mm]
> m(t)= x->x0
Du hast bis jetzt
[mm] $\frac{\Delta f }{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{x^{2}-4x+3}{x-1}$
[/mm]
Immer, wenn du den Differenzenquotienten von Polynomen bestimmen sollst, also Funktionen der Form [mm] $a_{n}*x^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1}*x [/mm] + [mm] a_{0}$ [/mm] (diese Form beinhaltet auch lineare und quadratische Funktionen!), läuft es darauf hinaus, dass du den Zähler mit dem Nenner kürzen kannst.
In deinem Fall ist im Zähler eine quadratische Funktion; du kannst [mm] $x^{2}-4x+3$ [/mm] auch schreiben als $(x-3)*(x-1)$:
[mm] $\frac{\Delta f }{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{x^{2}-4x+3}{x-1} [/mm] = [mm] \frac{(x-3)*(x-1)}{x-1} [/mm] = ...$
So, nun bist du dran!
Grüße,
Stefan
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Ah, ich dachte es mir schon ... Wäre nur nie auf das (x-3)(x-1) gekommen - gibt's da einen Trick? ;)
Weitergerechnet...würde sich dann das x-1 wegküzen und somit wärs dann x-3, kann doch aber nicht sein, oder?
Eigentlich müsste ja dasselbe wie bei f'(x) rauskommen, also 2x-4, oder irre ich mich da?
Danke für die schnelle Antwort übrigens!
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Oh, sehe gerade, dass es dasselbe ergibt, wenn man x0 einsetzt :)
also ist die Steigung im Punkt x0=1:
m=x-3
m=-2
richtig?
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Hallo!
> Ah, ich dachte es mir schon ... Wäre nur nie auf das
> (x-3)(x-1) gekommen - gibt's da einen Trick? ;)
Naja, wie gesagt - bei Polynomen, also auch quadratischen und linearen Funktionen musst du dann immer schauen, dass du den Zähler "faktorisieren" kannst, und das ist eigentlich immer möglich, so dass sich dann was wegkürzt.
> Weitergerechnet...würde sich dann das x-1 wegküzen und
> somit wärs dann x-3, kann doch aber nicht sein, oder?
> Eigentlich müsste ja dasselbe wie bei f'(x) rauskommen,
> also 2x-4, oder irre ich mich da?
Wie du schon herausgefunden hast, ist nicht so wichtig, was als Zwischenergebnis rauskommt. Das Endergebnis, wenn du 1 einsetzt, wird das gleiche sein, nämlich wie du auch schon richtig berechnet hast, m = -2.
Grüße,
Stefan
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Also immer versuchen, im Zähler das auszuklammern, was im Nenner steht? (Würde an dem Beispiel dann heißen, dass man den Zähler x²-4x+3 durch den Nenner x-1 teilt?)
Owe, owe, warum darf man nicht einfach ableiten? ;)
Danke dir!
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Hallo!
> Also immer versuchen, im Zähler das auszuklammern, was im
> Nenner steht?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! 
(Würde an dem Beispiel dann heißen, dass
> man den Zähler x²-4x+3 durch den Nenner x-1 teilt?)
Wenn du Polynomdivision beherrschst, darfst du die anwenden, falls du das meinst.
Ansonsten: Ja, man könnte auch sagen, du versuchst den Zähler durch den Nenner zu "teilen".
> Owe, owe, warum darf man nicht einfach ableiten? ;)
Darfst du bald!
Aber der Differentialquotient ist die Definition der Ableitung, du sollst erstmal lernen mit ihm umzugehen, damit du die Ableitungsregeln dann zu schätzen lernst
Grüße,
Stefan
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Die schätz ich schon seit Längerem ;) Ist nur eine Prüfungswiederholung...dachte eigentlich ich komm' drum rum :)
Also vielen Dank! Wird bestimmt nicht meine letzte Frage sein...
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