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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Do 12.04.2012
Autor: Fry

Hey,

habe irgendwie gerade nen Brett vorm Kopf.
Versuche die Ableitung von [mm]f(x)=\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})[/mm] zu berechnen.
Komme aber auf zwei verschiedene Ergebnisse. Könnt ihr mir sagen, wo der Fehler ist?


[mm] $\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{d}{dx}\log(\bruch{1}{\wurzel{1-x}}) [/mm]
[mm] =\wurzel{1-s}*(-\bruch{1}{(\wurzel{1-x})^2})*\bruch{-1}{2\wurzel{1-x}}=\bruch{1}{2\wurzel{1-x}}$ [/mm]

[mm]\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{1}{2}*(1-x)*\bruch{1}{(1-x)^2}=\bruch{1}{2(1-x)}[/mm]

Wo ist der Fehler?

Gruß
Fry





        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Do 12.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Fry,


>
> Hey,
>  
> habe irgendwie gerade nen Brett vorm Kopf.
>  Versuche die Ableitung von
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})[/mm] zu berechnen.
>  Komme aber auf zwei verschiedene Ergebnisse. Könnt ihr
> mir sagen, wo der Fehler ist?
>  
>
> [mm]$\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{d}{dx}\log(\bruch{1}{\wurzel{1-x}})[/mm] [ok]


>  
> [mm]=-\bruch{1}{(\wurzel{1-x})^2}*\bruch{-1}{2\wurzel{1-x}}=\bruch{1}{2\wurzel{1-x}}$[/mm]

Der erste Term stimmt nicht.

Es ist [mm]\ln(1/g(x))'=g(x)\cdot{}\left(1/g(x)\right)'=g(x)\cdot{}\frac{-g'(x)}{g^2(x)}[/mm]

Hier mit [mm]g(x)=\sqrt{1-x}[/mm] und [mm]g'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}[/mm]

Also [mm]\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)\right)=\sqrt{1-x}\cdot{}\frac{-\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{1-x}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-x}[/mm]

>  
> [mm]\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{1}{2}*(1-x)*\bruch{1}{(1-x)^2}=\bruch{1}{2(1-x)}[/mm] [ok]
>  
> Wo ist der Fehler?
>  
> Gruß
>  Fry
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Do 12.04.2012
Autor: Fry

Merci :D
Jaja, Quadrieren will gelernt sein ;)

LG
Fry

Bezug
        
Bezug
Ableitung: erst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Do 12.04.2012
Autor: Loddar

Hallo Fry!


Noch schneller bist Du, wenn Du zunächst die MBLogarithmusgesetze anwendest:

[mm]f(x) \ = \ \bruch{1}{2}*\log\left(\bruch{1}{1-x}\right) \ = \ \bruch{1}{2}*\left[ \ \log(1)-\log(1-x) \ \right] \ = \ \bruch{1}{2}*\left[ \ 0-\log(1-x) \ \right] \ = \ -\bruch{1}{2}*\log(1-x)[/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Do 12.04.2012
Autor: Fry

Ah, stimmt, vielen Dank :)

Bezug
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