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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Di 17.06.2008
Autor: mempys

Hallo!
Ich scheitere gerade am Verständnis und hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich soll die Ableitung von :
f(x)=arctan(1-x)
mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen.

Ich verstehe ehrlich gesagt gerade nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll...hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
MFG mempys

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Di 17.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo mempys,

die Regel lautet ja: [mm] $\left(f^{invers}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{invers}(x))}$ [/mm]

Hier ist [mm] $f^{invers}=\arctan$ [/mm] und [mm] $f=\tan$ [/mm]

Um mal das "Problem" mit der inneren Ableitung (von 1-x) loszuwerden, können wir ausnutzen, dass der [mm] $\arctan$ [/mm] punktsymmetrisch ist, dass also gilt [mm] $\arctan(-z)=-\arctan(z)$ [/mm]

Also [mm] $\arctan(1-x)=-\arctan(x-1)$, [/mm] dann machen wir nachher vor die Ableitung einfach das "Minus" ;-)


Also [mm] $\arctan'(x-1)=\frac{1}{\tan'(\arctan(x-1))}=\cos^2(\arctan(x-1))$ [/mm]

denn [mm] $\tan'(z)=\frac{1}{\cos^2(z)}$ [/mm]

Nun ist der "Trick", das [mm] $\cos^2(\arctan(x-1))$ [/mm] zu schreiben als

[mm] $\frac{\cos^2(\arctan(x-1))}{1}=\frac{\cos^2(\arctan(x-1))}{\cos^2(\arctan(x-1))+\sin^2(\arctan(x-1))}$ [/mm]

denn [mm] $\cos^2(z)+\sin^2(z)=1$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{1+\frac{\sin^2(\arctan(x-1))}{\cos^2(\arctan(x-1))}}$ [/mm]

Das nun noch zuende umformen... (und das "-" nachher dranklatschen ;-))


LG

schachuzipus

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Di 17.06.2008
Autor: mempys

Danke erst einmal für die schnelle Antwort.das die Kettenregel angewandt werden muss war mir klar,nur das mit dem arctan irgendwie nicht  :)

Vielleicht ist es eine "doofe frage",aber was soll man denn noch weiter umformen?sind wir noch nicht bei der vollendeten Ableitung?

MFG Mempys

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Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Di 17.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo und nein, fertig sind wir natürlich noch nicht

Du weißt ja bestimmt, dass die Ableitung [mm] $\arctan'(z)=\frac{1}{1+z^2}$ [/mm] ist.

Das haben wir bei den Umformungen "im Blick"

Es ist auch nicht mehr viel zu tun, im Nenner steht noch [mm] $\frac{\sin^2(\arctan(x-1))}{\cos^2(\arctan(x-1))}$ [/mm]

[mm] $\frac{\sin(z)}{\cos(z)}=\tan(z)$, [/mm] also steht da nix anderes als [mm] $\tan^2(\arctan(x-1))=\left[\tan(\arctan(x-1))\right]^2= [/mm] ...$


Also ergibt sich insgesamt ....


LG

schachuzipus

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Di 17.06.2008
Autor: mempys

Also kommt raus:

f'(x)= [mm] \bruch{1}{1+tan^{2}(arctan^{2}(x^{2}+1))} [/mm] ?




Bezug
                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Di 17.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Also kommt raus:
>  
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{1+tan^{2}(arctan^{2}(x^{2}+1))}[/mm] ? *huch* ?!

Wie kommst du denn darauf?

Der ganze Sinn der Umformungen bestand doch darin, genau diesen Ausdruck [mm] $\left[\red{\tan(\arctan}(x-1))\right]^2$ [/mm] hinzubasteln, in dem [mm] $\tan$ [/mm] und [mm] $\arctan$ [/mm] sich doch zur ident. Abbildung aufheben, es sind doch Umkehrfunktionen zueinander

Dh. [mm] $\left[\red{\tan(\arctan}(x-1))\right]^2=\left[id(x-1))\right]^2=(x-1)^2$ [/mm]

Also .... ;-)


Gruß

schachuzipus

>  
>
>  


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Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:03 Mi 18.06.2008
Autor: mempys

:D ...man kann sich auch blöd anstellen....,danke für deine Geduld.
schönen Abend noch.

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