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Hallo,
sind folgende Funktionen richtig abgeleitet?
1) f(x) = [mm] (cos(x))^{n}
[/mm]
f'(x) = -n [mm] (sin(x))^{n-1}
[/mm]
f''(x) = -n(n-1) [mm] (cos(x))^{n-2} [/mm] = (n - [mm] n^2) (cos(x))^{n-2}
[/mm]
2) f(x) = sin(2x) cos(ln(x))
f'(x) = 2 cos(2x) cos(ln(x)) - sin(2x) [mm] x^{-1} [/mm] sin (ln(x))
f''(x) = 2(-2sin(2x) cos(ln(x)) + 2 cos(2x) (-sin(ln(x))) [mm] x^{-1}) [/mm] -
((2 cos(2x) [mm] x^{-1} [/mm] - sin(2x) [mm] x^{-2}) [/mm] sin (ln(x)) + sin(2x) [mm] x^{-1} [/mm] cos(ln(x) [mm] x^{-1}) [/mm] )
Ich bin mir bei der letzten leider nicht ganz sicher. Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Mi 10.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
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Hallo
> sind folgende Funktionen richtig abgeleitet?
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> 1) f(x) = [mm](cos(x))^{n}[/mm]
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> f'(x) = -n [mm](sin(x))^{n-1}[/mm]
Nicht ganz, nach Kettenregel gilt:
[mm] f'(x)=\underbrace{n(cos(x))^{n-1}}_{\text{äußere Ableitung}}\underbrace{-sin(x)}_{\text{innere Ableitung}}
[/mm]
>
> f''(x) = -n(n-1) [mm](cos(x))^{n-2}[/mm] = (n - [mm]n^2) (cos(x))^{n-2}[/mm]
>
Und für die zweite Ableitung brauchst du noch die Produktregel:
Also: [mm] f''(x)=\underbrace{n(cos(x))^{n-1}*}_{u}*\underbrace{(-cos(x))}_{v'}+\underbrace{n(n-1)(cos(x))^{n-2}*(-sin(x))}_{u'}*\underbrace{(-sin(x))}_{v}
[/mm]
[mm] =-n(cos(x))^{n}+n(n-1)(cos(x))^{n-2}*sin²(x)
[/mm]
> 2) f(x) = sin(2x) cos(ln(x))
>
> f'(x) = 2 cos(2x) cos(ln(x)) - sin(2x) [mm] x^{-1} [/mm] sin (ln(x))
>
> f''(x) = 2(-2sin(2x) cos(ln(x)) + 2 cos(2x) (-sin(ln(x)))
> [mm]x^{-1})[/mm] -
> ((2 cos(2x) [mm]x^{-1}[/mm] - sin(2x) [mm]x^{-2})[/mm] sin (ln(x)) + sin(2x)
> [mm]x^{-1}[/mm] cos(ln(x) [mm]x^{-1})[/mm] )
>
Das sieht soweit gut aus, ich hoffe, ich habe nichts übersehen.
> Ich bin mir bei der letzten leider nicht ganz sicher. Danke
> für eure Hilfe!
Marius
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