Ableiten y = x^{x}; Starthilfe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Man differenziere:
y = [mm] x^{x} [/mm] |
Hallo!
Diese Ableitung sollte ich eigentlich können.... aber irgendwie komme ich auf ein falsches Ergebnis!
Mein Ansatz: Sei die äußere Funktion f = [mm] a^{x}, [/mm] f' = ln [mm] a*a^{x};
[/mm]
innere Funktion g = x, g' = 1
Kettenregel: Äußere mal innere Ableitung => y' = f'(g(x))*g'(x),
also: y' = [mm] ln(x)*x^{x}*1 [/mm] = ln x * [mm] x^{x}
[/mm]
Die richtige Lösung lautet aber:
y' = [mm] x^{x}(1 [/mm] + ln x) = [mm] x^{x} [/mm] + ln x * [mm] x^{x}
[/mm]
Könnte mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? ich dachte eigentlich, dass hier die Kettenregel so funktioniert.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Casy!
Deine Regel für die Ableitung gilt ja nur für eine konstante Basis $xa_$ .
Für diese Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^x$ [/mm] musst Du erst umformen und in eine e-Funktion umwandeln:
$$f(x) \ = \ [mm] \red{x}^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \red{e^{\ln(x)}} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$$
[/mm]
Nun mittels  Kettenregel in Verbindung mit der Produktregel (für die innere Ableitung) vorgehen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Casy |
ok, das heißt, für das Produkt in der Potenz erhalte ich ln x + 1 als Ableitung;
mit der Kettenregel gibt das dann:
y' = [mm] e^{lnx+1}*1/x
[/mm]
Und wie kann ich das umformen, damit die Lösung rauskommt? Stimt das bis hier?
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> ok, das heißt, für das Produkt in der Potenz erhalte ich ln
> x + 1 als Ableitung;
>
> mit der Kettenregel gibt das dann:
>
> y' = [mm]e^{lnx+1}*1/x[/mm]
>
> Und wie kann ich das umformen, damit die Lösung rauskommt?
> Stimt das bis hier?
mmh nicht ganz.... schau noch mal genau nach, wie man die e-funktion ableitet und wie die kettenregel funktioniert...
die lösung sähe dann so aus
[mm] y=e^{xlnx}
[/mm]
y'= [mm] e^{xlnx}*(x*\bruch{1}{x}+lnx*1)
[/mm]
[mm] =e^{xlnx}*(1+lnx)
[/mm]
und das wär's dann auch schon ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 26.02.2008 | | Autor: | Casy |
oja, klar, sorry, hab mich vertan.
Also: meine innere Funktion x*lnx ergibt abgeleitet = lnx + 1
meine äußere Funktion ist [mm] e^{x}, [/mm] das ist abgeleitet ebenfalls = [mm] e^{x}.
[/mm]
Mit Kettenregel "äußere * innere Ableitung" hab ich dann:
y' = [mm] e^{x*lnx}*(lnx [/mm] + 1)
hey cool, das ist ja die Lösung!
Vielen Dank den Helfern und sorry, dass ich so aufm Schlauch stand....hab zweimal falsch eingesetzt.
Jetzt hab ichs verstanden!
Tschüss!
|
|
|
| |
|
Hallo!
> oja, klar, sorry, hab mich vertan.
>
> Also: meine innere Funktion x*lnx ergibt abgeleitet = lnx +
> 1
> meine äußere Funktion ist [mm]e^{x},[/mm] das ist abgeleitet
> ebenfalls = [mm]e^{x}.[/mm]
>
> Mit Kettenregel "äußere * innere Ableitung" hab ich dann:
>
> y' = [mm]e^{x*lnx}*(lnx[/mm] + 1)
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") genau so ist es. kannst auch [mm] (ln(x)+1)*x^{x} [/mm] schreiben ändert aber nichts an der Richtigkeit deiner Ableitung.
> hey cool, das ist ja die Lösung!
>
> Vielen Dank den Helfern und sorry, dass ich so aufm
> Schlauch stand....hab zweimal falsch eingesetzt.
>
> Jetzt hab ichs verstanden!
> Tschüss!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
|
|
|
|
