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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:26 Di 01.05.2012 | | Autor: | Denis92 |
| Aufgabe | Die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n/n^x [/mm] konvergiert gleichmäßig in x für x >= [mm] \lambda. [/mm] Die durch die Reihe entstehende Funktion bezeichne man mit f.
Zeigen Sie: f ist auf [mm] (\lambda, \infty) [/mm] differenzierbar und es gilt
f'(x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n/n^x*(-log(n)) [/mm] |
Hallo,
die gleichmäßige Konvergenz der Reihe war Teilaufgabe (i), und konnte mit dem Kriterium von Weierstraß einfach gezeigt werden. Nun meine Frage:
Potenzreihen lassen sich im inneren ihres Konvergenzkreises ableiten. Interessiert mich der Konvergenzkreis auch bei dieser Art von Aufgabe?
Wenn die Reihe für alle x >= [mm] \lambda [/mm] konvergiert, und x sowieso >= [mm] \lambda [/mm] gewählt wird, kann ich doch einfach gliedweise ableiten, oder?
Das Problem dabei: Wenn ich die Reihe schreibe, als:
f(x) = [mm] a_1/1^x [/mm] + [mm] a_2/2^x [/mm] + ... = [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2/2^x [/mm] + ... und nun ableite, verschwindet der erste Koeffizient und die abgeleitete Reihe startet nicht mehr mit [mm] a_1.
[/mm]
Wenn ich aber
f(x) = [mm] a_1 [/mm] * e^(-x*log(1)) + [mm] a_2 [/mm] * e^(-x*log(2)) + ... schreibe, so funktioniert das ganze. Was habe ich hier übersehen? Danke für eure Antworten! :)
Denis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 01.05.2012 | | Autor: | Denis92 |
Sorry, die Frage war echt doof. log(1) = 0.
Ich habs grade aber 15 Minuten nicht kapiert :D
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