Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man beweise:
2 arctan x + arc sin [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] = [mm] \pi [/mm] für x > 1
2 arctan x - arc sin [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] = 0 für |x| < 1 |
Hallo
(2 arctan x + arc sin [mm] \frac{2x}{1+x^2}) [/mm] '
= [mm] \frac{ 2}{1+x^2} [/mm] + [mm] \frac{1-3x^2}{\sqrt{1-arcsin(\frac{2x}{1+x^2}})*(x^2+1)^2} [/mm]
Ich weiß nicht mal so recht ob überhaupt die ABleitung stimmt.
Geschweigeden was ich weiter zu tun hab.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo quasimo!
Wo in der Aufgabenstellung steht denn etwas von der Ableitung des genannten Terms?
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:50 Sa 14.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Ich weiß nicht ob so gefordert, aber du kannst dir ja mal die Graphen der Funktionen angucken und deren Verlauf. Vielleicht kommst du dann drauf :)
Gruß
al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Es steht am Schluß, was ich vergessen hab hinzuschreiben:
Anleitung: Man differenziere die Gleichung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Sa 14.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Z.b: f(x):= 2 arctan x - arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ für |x|<1
Zeige: f'(x)=0 für |x|<1
Dann ist f auf (-1,1) konstant, also f(x)=f(0) für |x|<1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich steh ein bisschen an^^
Die Ableitung der zweiten Zeile ergibt
$ [mm] \frac{ 2}{1+x^2} [/mm] $ - $ [mm] \frac{1-3x^2}{\sqrt{1-arcsin(\frac{2x}{1+x^2}})\cdot{}(x^2+1)^2} [/mm] $ =0
Fragt sich wie ich das AUflösen kann mit dem arcsin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo quasimo!
Das kann nicht stimmen. In der Ableitung wird kein [mm]\arcsin[/mm] mehr auftauchen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Gut;)
Also nochmals abgeleitet:
(arcsin [mm] \frac{2x}{1+x^2}) [/mm] ' = [mm] \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} [/mm] = [mm] \frac{(2-2x^2)*(1+x^2)}{(1-x^2)*(1+x^2)^2} [/mm] = [mm] \frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}
[/mm]
Ist das falsch?
LG
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Hallo quasimo,
> Gut;)
>
> Also nochmals abgeleitet:
>
> (arcsin [mm]\frac{2x}{1+x^2})[/mm] ' =
> [mm]\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}* \frac{1}{(1+x^2)^2}[/mm]
> = [mm]\frac{(2-2x^2)*(1+x^2)}{(1-x^2)*(1+x^2)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}[/mm]
>
Das stimmt für [mm]\vmat{x} < 1[/mm]
> Ist das falsch?
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Was?Es fehlt ja noch die ableitung des 2 arc tan (x) dazu
ABER meine Frage war ob ich richtig abgeleitet/umgeformt habe. Ich glaub nämlich mir sind Fehler unterlaufen.
Weil wenn ich die Wurzel wegstreiche, muss ich den Betrag danach verwenden oder?
> (arcsin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2}) [/mm] $ ' = $ [mm] \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{(2-2x^2)\cdot{}(1+x^2)}{(1-x^2)\cdot{}(1+x^2)^2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6} [/mm] $
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Hallo quasimo,
> Hallo,
>
> Was?Es fehlt ja noch die ableitung des 2 arc tan (x) dazu
>
> ABER meine Frage war ob ich richtig abgeleitet/umgeformt
> habe. Ich glaub nämlich mir sind Fehler unterlaufen.
>
Abgeleitet hast Du richtig, nur eben für [mm]\vmat{x}<1[/mm]
> Weil wenn ich die Wurzel wegstreiche, muss ich den Betrag
> danach verwenden oder?
>
Ja.
> > (arcsin [mm]\frac{2x}{1+x^2})[/mm] ' =
> [mm]\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2}[/mm]
> = [mm]\frac{(2-2x^2)\cdot{}(1+x^2)}{(1-x^2)\cdot{}(1+x^2)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}[/mm]
Das kann noch vereinfacht werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> Abgeleitet hast Du richtig, nur eben für $ [mm] \vmat{x}<1 [/mm] $
Ja , dann nehme ich den Betrag und hab so für beide varianten umgeformt?
$ [mm] \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{|(1-x^2)|}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} [/mm] $
= [mm] \frac{2*(1-x^4)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{2*(1+x^2)*(1-x^2))}{|(1-x^2)| *(1+x^2)*(1+x^2)}
[/mm]
[mm] =\frac{2*(1-x^2)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)}
[/mm]
Passt es so?
für $ [mm] \vmat{x}<1 [/mm] $
> $ [mm] \frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6} [/mm]
> Das kann noch vereinfacht werden.
= [mm] \frac{2-2x^2}{1-x^4}
[/mm]
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Hallo quasimo,
> > Abgeleitet hast Du richtig, nur eben für [mm]\vmat{x}<1[/mm]
> Ja , dann nehme ich den Betrag und hab so für beide
> varianten umgeformt?
>
> [mm]\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{|(1-x^2)|}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> = [mm]\frac{2*(1-x^4)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)^2}[/mm]
> =
> [mm]\frac{2*(1+x^2)*(1-x^2))}{|(1-x^2)| *(1+x^2)*(1+x^2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{2*(1-x^2)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)}[/mm]
>
> Passt es so?
>
Ja.
>
> für [mm]\vmat{x}<1[/mm]
> > $ [mm]\frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}[/mm]
> > Das kann noch vereinfacht werden.
> = [mm]\frac{2-2x^2}{1-x^4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Hei supa ;)
Zurück aber zur AUfgabe!
> Aufgabe
> Man beweise:
> 2 arctan x + arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = $ [mm] \pi [/mm] $ für x > 1
> 2 arctan x - arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = 0 für |x| < 1
[mm] \frac{2}{1+x^2}+ $\frac{2\cdot{}(1-x^2)}{|(1-x^2)| \cdot{}(1+x^2)} [/mm] $ = [mm] \frac{2 *|1-x^2)| +2*(1-x^2)}{(|1-x^2|) \cdot{}(1+x^2)}
[/mm]
[mm] \frac{2}{1+x^2} [/mm] - $ [mm] \frac{2-2x^2}{1-x^4} [/mm] $ = [mm] \frac{0}{(1+x^2)*(1-x^4)}=0 [/mm]
Ich weiß nicht so ganz, wie ich das oben mache mit dem Betrag!
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Hallo quasimo,
> Hei supa ;)
> Zurück aber zur AUfgabe!
> > Aufgabe
> > Man beweise:
> > 2 arctan x + arc sin [mm]\frac{2x}{1+x^2}[/mm] = [mm]\pi[/mm] für x > 1
> > 2 arctan x - arc sin [mm]\frac{2x}{1+x^2}[/mm] = 0 für |x| < 1
>
> [mm]\frac{2}{1+x^2}+[/mm] [mm]\frac{2\cdot{}(1-x^2)}{|(1-x^2)| \cdot{}(1+x^2)}[/mm]
> = [mm]\frac{2 *|1-x^2)| +2*(1-x^2)}{(|1-x^2|) \cdot{}(1+x^2)}[/mm]
>
> [mm]\frac{2}{1+x^2}[/mm] - [mm]\frac{2-2x^2}{1-x^4}[/mm] =
> [mm]\frac{0}{(1+x^2)*(1-x^4)}=0[/mm]
>
> Ich weiß nicht so ganz, wie ich das oben mache mit dem
> Betrag!
Löse den Betrag im Fall [mm]\vmat{x} > 1[/mm] auf.
Dann ist [mm]\bruch{1-x^{2}}{\vmat{1-x^{2}}}=-1[/mm]
Somit gilt:
[mm]\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\cdot{}(1-x^2)}{|(1-x^2)| \cdot{}(1+x^2)}=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\cdot{}(-1)}{1+x^2}=\bruch{0}{1+x^{2}}=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 14.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Hei danke.
Aber Was ist mit dem [mm] \pi [/mm] von der Angabe,dass kommt ja nicht mehr vor? Müssen wir da nicht auch was zeigen??
LG
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Hallo quasimo,
> Hei danke.
> Aber Was ist mit dem [mm]\pi[/mm] von der Angabe,dass kommt ja nicht
> mehr vor? Müssen wir da nicht auch was zeigen??
>
Die Gleichung
[mm]2 arctan x + arc sin \frac{2x}{1+x^2}= \pi , \ x > 1 [/mm]
ist mit Hilfe von Additionstheroremen zu zeigen.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 So 15.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> Hallo quasimo,
>
> > Hei danke.
> > Aber Was ist mit dem [mm]\pi[/mm] von der Angabe,dass kommt ja nicht
> > mehr vor? Müssen wir da nicht auch was zeigen??
> >
>
>
> Die Gleichung
>
> [mm]2 arctan x + arc sin \frac{2x}{1+x^2}= \pi , \ x > 1[/mm]
>
> ist mit Hilfe von Additionstheroremen zu zeigen.
1) Für was haben wir dann differenziert die erste Gleichung? Hätten wir das ganze dann nicht nur für |x| < 1 machen sollen?
2) [mm] \sin [/mm] ( x [mm] \pm [/mm] y ) = [mm] \sin [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] y [mm] \pm \sin [/mm] y [mm] \; \cos [/mm] x
[mm] \tan [/mm] ( x + y ) = [mm] \frac{ \sin (x + y) }{ \cos (x + y) } [/mm]
Aber für den arc.. hab ich kein additionstheorem.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
da die ableitung 0 ist musst du nur einen Wert für x finden, wo das stimmt.
für 7x|<1 nimm 0
für x/ge1 nimm 1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 16.01.2012 | | Autor: | quasimo |
> x /ge 1 nimm 1
2* arctan(1) = [mm] \frac{2\pi}{4}
[/mm]
[mm] arcsin(\frac{2}{1+1^2})=arcsin(1)=\pi/2
[/mm]
f(1) = [mm] \frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{2} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
WIESO aber darf man eins nehmen? In der Angabe steht doch für den Term x>1 und nicht größergleich!?
> für |x|<1 nimm 0
2 arctan(0) = 0
[mm] arcsin(\frac{2*0}{1+0^2})=0
[/mm]
g(0) = 0+0=0
Trotzdem muss ich nochmals von Anfang an fragen!
> Man beweise:
> 2 arctan x + arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = $ [mm] \pi [/mm] $ für x > 1
> 2 arctan x - arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = 0 für |x| < 1
Warum haben wir die beiden Gleichungen differenziert?
> Rausgekommen ist dann jeweils 0 für jede der Gleichungen
Und warum muss ich jetzt noch ein beliebiges x einsetzen in die Gleichungen? Es muss doch für jedes x gelten?
Ich habe nun die Lösungsschritt aber wie ihr seht, sind sie mir nicht klar, warum wir es so machen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 16.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du eillst zejen dass f(x)=const 0= für |x|<1
was hast du gezeigt? f'(x)=0 fot alle x on dem Bereich.
damiz hast du f(x)=const in dem Berich. wenn es kostant ist, reicht es, den wert an einer Stelle auszurechnen, dann gilt er für alle anderen Stellen auch.
fasselbe für die andere fkt
Das stand aber schon in einem der ersten posts. es wäre gut, du würdest die gründlich lesen und gleich sagen, was du nicht verstanden hast statt blindlings was auszurechnen, dessen sinn du nicht verstehst!
Also erst verstehen, dann losrechnen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
du willst doch [mm] \bruch{2}{1-x^2} [/mm] zeigen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
im vorletzten Zerm kürzen statt ausrechnen!
Gruss leduart
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