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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mi 23.01.2008 | | Autor: | JKS1988 |
Hallo zusammen!
Ich habe mir gedacht, ich mache mal einen thread für meine mathevorbereitung, in dem ich nach und nach verständnisfragen reinstelle. so muss ich nicht immer wieder einen neuen thread öffnen.
ich fange einfach mal an:
Ich befasse mich mit der Integration durch Substitution.
Eine grundlegende Frage: ist es zwingend erforderlich, diese zu beherrschen? also gibt es aufgaben, die NUR mit ihr gelöst werden können?
tue mich nämlich reichlich schwer mit ihr.
habe es bis jetzt so verstanden:
[mm] \integral_{a}^{b}{a*f(x) dx}
[/mm]
bei der integration durch substitution wird "a" so umgeformt, dass es der ableitung von f(x) entspricht. die zur umformung notwendigen faktoren werden nach vorne geschrieben. jetzt ist die stammfunktion...da komme ich nicht wirklich weiter.
wäre super nett, wenn jemand mir das (möglichst mit eigenen worten) erklären könnte.
bin um jede hilfe dankbar
lg
JKS1988
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Hallo zusammen!
> Ich habe mir gedacht, ich mache mal einen thread für meine
> mathevorbereitung, in dem ich nach und nach
> verständnisfragen reinstelle. so muss ich nicht immer
> wieder einen neuen thread öffnen.
>
> ich fange einfach mal an:
>
> Ich befasse mich mit der Integration durch Substitution.
> Eine grundlegende Frage: ist es zwingend erforderlich,
> diese zu beherrschen? also gibt es aufgaben, die NUR mit
> ihr gelöst werden können?
> tue mich nämlich reichlich schwer mit ihr.
> habe es bis jetzt so verstanden:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{a*f(x) dx}[/mm]
>
> bei der integration durch substitution wird "a" so
> umgeformt, dass es der ableitung von f(x) entspricht. die
> zur umformung notwendigen faktoren werden nach vorne
> geschrieben. jetzt ist die stammfunktion...da komme ich
> nicht wirklich weiter.
So stimmt es leider nicht. Man kann es vielleicht so schreiben:
[mm]\integral_{a}^{b}{a*f(h(x)) dx}[/mm]
Jetzt formst Du a so um, dass es die Ableitung von h(x) ist.
Ich versuch's mal mit einem Beispiel:
[mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{(x^2+1)^3} dx}[/mm]
Jetzt setzt Du: $ z = [mm] h(x)=x^2+1 [/mm] $. Dann ist $ h'(x) = 2x $. Das Integral kannst Du also umformen zu:
[mm] \bruch{1}{2}\ \integral_{a}^{b}{\bruch{2x}{(x^2+1)^3} dx}[/mm]
Jetzt kannst Du substituieren:
[mm] \bruch{1}{2}\ \integral_{h(a)}^{h(b)}{\bruch{1}{z^3} dz}[/mm]
Kommst Du jetzt weiter?
Mach Dir klar, dass die Substitutionsregel die Umkehrung der Kettenregel ist.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 31.01.2008 | | Autor: | JKS1988 |
Hallo! habe es verstanden, danke!!
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 02.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
Hallo nochmal!
beim üben haben sich mir noch ein paar fragen aufgeworfen:
1) wie erkenne ich eine "hebbare polstelle" und polstellen mit oder ohne vorzeichenwechselkriterium? (ohne werte einzusetztem)
2) Wie komme ich auf die Stammfunktion der folgenden Funktion (zwecks Integralrechnung):
f(x) = [mm] 4x^3-13x^2+9 [/mm] / [mm] x^2 [/mm] ???
mein ansatz war, die qoutientenregel rückwärts zu rechnen. ich bin damit aber leider gescheitert...
3) Bei der Lösung des folgenden Integrals drehe ich mich im Kreis:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin x *e^x dx}
[/mm]
wenn man die partielle integration anwendet, verschwindet das x ja hier nicht, da die ableitung von sin x = cos x ist...
hoffe ihr könnt mir helfen. bin über wirklich jede antwort dankbar.
lg und ein schönes we
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JKS!
Zerlege die Funktion wie folgt:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{4*x^3-13*x^2+9}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4*x^3}{x^2}-\bruch{13*x^2}{x^2}+\bruch{9}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] 4*x-13+9*x^{-2}$$
[/mm]
Und nun wie gewohnt mit der  Potenzregel vorgehen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 So 03.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
hi! weil es dich laut profilauskunft so freut: "auf die stirn klatsch". hätte ich selber drauf kommen müssen, aber danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JKS!
> 1) wie erkenne ich eine "hebbare polstelle" und polstellen
> mit oder ohne vorzeichenwechselkriterium? (ohne werte
> einzusetztem)
Eine hebbare Polstelle bei gebrochenrationalen Funktionen liegt in der Regel vor, wenn diese Stelle sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers ist.
Wenn der Termder Polstelle ungerade ist - z.B. [mm] $(x-2)^3$ [/mm] - liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Bei geradem Exponent - z.B. [mm] $(x-2)^2$ [/mm] - gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 03.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
hallo! erstmal danke für die antwort. ich habe alles so weit verstanden, habe aber noch eine weitere frage:
was ist denn, wenn die funktion beispielsweise
f(x)= 3x-4 / [mm] (x^3+2x^2) [/mm] lautet, also gerade sowie ungerade exponenten aufweißt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 So 03.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Nenner ist doch [mm] x^2*(x+2) [/mm] bei x=0 wechselt er das Vorzeichen nicht, bei x=-2 wechselt er das Vorzeichen.
Du kannst immer davon ausgehen, wenn der Zähler ungleich 0 ist, dass der sein Vorzeichen wenig neben der Polstelle beibehält, also musst du nur sehen, was der Nenner macht. auch der Faktor im Nenner, dergrade nicht 0 ist behält ja sein Vorzeichen bei, also kommts nur auf den Faktor an, dessen Nullstelle den Pol "macht" bei x=0 also [mm] x^2, [/mm] bei x=-2 x+2
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JKS!
Bei dieser Aufgabe musst du die partielle Integration zweimal anwenden und dann erhältst Du auf der rechten Seite der gleichung den Term [mm] $-\integral{\sin(x)*e^x \ dx}$ [/mm] .
Diese kannst Du nun auf die linke Seite der Gleichung bringen und dann durch 2 teilen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 So 03.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
auch hier könntze ich mir auf die stirn klatschen ;) trotzdem danke für alle bemühungen :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 06.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
hallo wiedermal!
wie sollte es anders sein, über die karnevalstage haben sich mir einige neue fragen aufgetan. ich schieß einfach mal los:
1) wie wende ich die produktregel mehrfach an? beispiel:
[mm] f(x)=(x-1)(x^2+3)(x-7) [/mm] --> ausmultiplizieren? wäre so mein erster versuch gewesen, aber ich denke es geht einfacher? produktregel mehrfach in einer rechnung anwenden?
2) Wenn ich den Flächeninhalt zwischen zwei graphen f(x) und g(x) bestimme, stelle ich normalerweise die gleichung:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}-\integral_{a}^{b}{g(x) dx}
[/mm]
(a und b sind die schnittpunkte)
auf. meine frage: woher weiß ich, ob ich nicht "umgekehrt", also
[mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx}-\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] rechnen muss?
eine ähnliche frage zu dem thema: wenn ein graph eine fkläche mit der x achse einschließt, scuhe ich zuerst die nullstellen. wenn ich mehr als 2 nullstellen habe, dann muss ich doch beispielsweise:
[mm] \integral_{-2}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{7}{f(x) dx} [/mm] rechnen, da sich die flächen sonst "ausgleichen". zudem rechne ich aus dem selben grund nur mit beträgen, oder? oder gibt es hir eine einfachere möglichkeit??
3) meine (vorerst ;)) letzte frage:
aufgabe:
f(x)= [mm] (4x^3-13x^+9)/x^2
[/mm]
mein lösungsansatz:
f(x)= [mm] (4x^3-13x^+9)/x^2 1/(x^2)*(4x^3-13x^+9) [/mm] --> produktregel anwenden... oder gibt es auch hier eine einfachere methode? ich habe ja schon mal nach integration durch substitution gefragt, aber das scheint ja hier unangebracht zu sein, oder??
soo, das wars erstmal. danke schonmal, ihr seid fast immer eine große hilfe.
gruß
JKS1988
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> hallo wiedermal!
> wie sollte es anders sein, über die karnevalstage haben
> sich mir einige neue fragen aufgetan. ich schieß einfach
> mal los:
>
> 1) wie wende ich die produktregel mehrfach an? beispiel:
>
> [mm]f(x)=(x-1)(x^2+3)(x-7)[/mm] --> ausmultiplizieren? wäre so mein
> erster versuch gewesen, aber ich denke es geht einfacher?
> produktregel mehrfach in einer rechnung anwenden?
Also es wird sich bestimmt gleich jemand melden, aber ich persönlich würde einfach (x-1)*(x-7) ausmultiplizieren und dann eine "einfache Produktregel anwenden.
Zur überprüfung du solltest [mm] f'(x)=4*x^{3}-24*x^{2}+20*x-24 [/mm] rausbekommen.
> 2) Wenn ich den Flächeninhalt zwischen zwei graphen f(x)
> und g(x) bestimme, stelle ich normalerweise die gleichung:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}-\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]
> (a
> und b sind die schnittpunkte)
>
> auf. meine frage: woher weiß ich, ob ich nicht "umgekehrt",
> also
> [mm]\integral_{a}^{b}{g(x) dx}-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> rechnen muss?
Du kannst im Prinzip beides machen. Sonst schaut man aber eigentlich ob im Intervall $ [a;b] f(x) [mm] \ge [/mm] g(x) $ oder $ g(x) [mm] \ge [/mm] f(x) $ Je nachdem welches der beiden erfüllt ist wird dann eben immer die größere Funktion nach oben geschrieben. Umgehen kannst du das ganze indem du einfach Betragsstriche verwendest!
> eine ähnliche frage zu dem thema: wenn ein graph eine
> fkläche mit der x achse einschließt, scuhe ich zuerst die
> nullstellen. wenn ich mehr als 2 nullstellen habe, dann
> muss ich doch beispielsweise:
>
> [mm]\integral_{-2}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{7}{f(x) dx}[/mm]
> rechnen, da sich die flächen sonst "ausgleichen". zudem
> rechne ich aus dem selben grund nur mit beträgen, oder?
> oder gibt es hir eine einfachere möglichkeit??
Wenn die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen und gleich groß sind "gleichen sie sich aus" ansonsten zerlegst du halt nur, weil du nicht einfach über Nullstellen hinweg integrieren darfst. Bteräge eben nur, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Präventiv kann man das aber immer tun, ohne CAS-Rechner macht es das aber glaub ich teilweise komplizierter als man es gebrauchen kann, oder ?
> 3) meine (vorerst ;)) letzte frage:
> aufgabe:
>
> f(x)= [mm](4x^3-13x^+9)/x^2[/mm]
>
> mein lösungsansatz:
>
> f(x)= [mm](4x^3-13x^+9)/x^2 1/(x^2)*(4x^3-13x^+9)[/mm] -->
> produktregel anwenden... oder gibt es auch hier eine
> einfachere methode? ich habe ja schon mal nach integration
> durch substitution gefragt, aber das scheint ja hier
> unangebracht zu sein, oder??
Aus der Funktionsgleichung werde ich nicht ganz schlau. Benutze doch mal den Formeleditor, dann wird etwas klarer...
> soo, das wars erstmal. danke schonmal, ihr seid fast immer
> eine große hilfe.
>
> gruß
>
> JKS1988
Liebe Grüße,
exeqter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 07.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
hallo!
erstmal danke für die rasche antwort.
zu 1) hat sich geklärt, habs ausprobiert und ergebniss stimmt...
zu 2) hab ich soweit geblickt. nehme einfach immer betragsstriche (halte ich für einfacher)...
zu 3) weiß hier noch jemand weiter? komme auch mit dem editor nicht weiter...
gruß und besten dank
JKS1988
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JKS!
Du willst also diese Funkrtion hier integrieren: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{4x^3-13x+9}{x^2}$ [/mm] ??
Forme dafür zunächst um und wende anschließend auf die Einzelterme die Potenzregel an:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{4x^3-13x+9}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x^3}{x^2}-\bruch{13x}{x^2}+\bruch{9}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] 4x-13*\bruch{1}{x}+9*x^{-2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Fr 08.02.2008 | | Autor: | JKS1988 |
hallöchen!
wie dumm von mir, da nicht drauf zu kommen^^ besten dank
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