Abhängigkeit von Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] Folgen positiver reeller Zahlen und es gelte: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] = c > 0
Zeige dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] konvergiert. Tipp: Benutze die Defintion der konvergenten Folge und das Majorantenkriterium.
Finde außerdem ein Bsp, welches die obige Aussage im Fall c = 0 widerlegt. |
Hallo,
zu obiger Frage habe ich jetzt den Ansatz, dass da am Ende [mm] |a_{n}| [/mm] <= [mm] b_{n}
[/mm]
stehen muss, also das Majorantekriterium, und ich da wohl über [mm] |a_{n} [/mm] - a| < epsilon, also die Definition der konvergenten Folge, drauf kommen soll. Wie die Rechnung dann aber aussehen soll, komme ich jetzt gar nicht drauf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt nach Voraussetzung [mm] $\big|\frac{a_n}{b_n} [/mm] - [mm] c\big| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]
Insbesondere ist also für fast alle n auch [mm] $c-\varepsilon \le \frac{a_n}{b_n} \le [/mm] c + [mm] \varepsilon$
[/mm]
Na daraus kann man sich doch nun prima Majoranten bauen....
Gruß,
Gono
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