Abhängige ZV falten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich weis, dass ich zwei WDF, die aus unabhängige ZV erstellt wurden, mit einander falten kann um die gemeinsame Verteilung zu bekommen. Nun wird immer ausdrücklich daruf hingewiesen, dass dies nur für unabhängige ZV möglich ist. Leider kann ich nicht finden wieso dies nur für unabhängige funktioniert (vielleicht gibt es diesbezüglich ja irgendwelche Ranbedingungen).
Ich möchte nämlich WDF mit einander falten, welche aus ZV erstellt wurden, die eine gewisse Abhängigkeit haben. Oder wie kann ich aus WDF, welche aus abhängigen ZV erstellt wurden, die gemeinsame WDF erstellen?
Vielen Dank schon mal im Voraus
Olli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
es funktioniert nicht, weil die Faltungsformel mit bedingten Wahrscheinlichkeiten arbeitet.
$P(X+Y=k) = P(X=k-Y) = [mm] \sum_y [/mm] P(X=k-y\ |\ Y=y)*P(Y=y) = [mm] \sum_y [/mm] P(X=k-y)*P(Y=y)$
den letzten Schritt kannst Du nicht machen, wenn X und Y nicht unabhängig sind, weil dann i.a. $P(X=k-y\ |\ [mm] Y=y)\neq [/mm] P(X=k-y)$
> Oder wie kann ich aus WDF, welche aus abhängigen ZV erstellt wurden, die gemeinsame WDF erstellen?
Aufgabe: Konstruier mir 2 ZV mit gleichen Randvtlgen aber unterschiedlichen gemeinsamen Vtlgen (2 Vtlgen auf einen zweielementigen WRaum {0,1} reichen schon)
Nur für spezielle Vtlgen kann man die gemeinsame relativ leicht gewinnen (z.B. Randdichten normalverteilt + bekannte Korrelation).
Vielleicht kennst Du ja die bedingte Verteilung X|Y
ciao
Stefan
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Hi,
> Nur für spezielle Vtlgen kann man die gemeinsame relativ
> leicht gewinnen (z.B. Randdichten normalverteilt + bekannte
> Korrelation).
bei den Verteilungen handelt es sich um Verteilungen, die ich aus Messreihen gewonnen habe. Leider kann ich diese nicht alle mit einer Normalverteilung darstellen, allerdings habe ich die Korrelation bestimmt. Hilft jetzt aber auch nicht weiter da sie ja nicht normalverteilt sind, oder?
> Vielleicht kennst Du ja die bedingte Verteilung X|Y
Leider kenne ich die bedingte Verteilung X|Y nicht, oder kann man diese aus den ZV X und Y bestimmen? Und wenn ja, wie bringt mich das zu einer gemeinsamen Verteilung bei abhängigen ZV X und Y?
Vielen Dank schon mal im Voraus
Olli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 10.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
moeglicherweise missverstehe ich dein Problem, aber die Faltung funktioniert auch so: Ist $(X,Y)_$ diskret verteilt mit *gemeinsamer* Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$, so ist
[mm] $P(X+Y=z)=\sum_{\{(x,y)\mid x+y=z\}}f(x,y)=\sum_xf(x,z-x)$.
[/mm]
Eine aehnliche Formel gilt fuer stetige verteilte $(X,Y)_$.
vg Luis
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Hi,
du verstehst mich nicht flasch aber diese von dir angebene Formel ist, soweit mir bekannt ist, nur für unabhängige ZV zulässig. Wenn ich nun aber abhängige ZV habe, dann darf ich diese Formel ja nicht mehr anwenden, oder missverstehe ich dich jetzt?
Gruß
Olli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Fr 17.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
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> du verstehst mich nicht flasch aber diese von dir angebene
> Formel ist, soweit mir bekannt ist, nur für unabhängige
> ZV zulässig. Wenn ich nun aber abhängige ZV habe, dann
> darf ich diese Formel ja nicht mehr anwenden, oder
> missverstehe ich dich jetzt?
Die Formel gilt in *jedem* Fall, denn es handelt sich um die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x,y)=P(X=x,Y=y)_$. Sie vereinfacht sich, wenn Unabhaengigkeit vorliegt zu $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)_$.
vg Luis
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> es handelt sich um
> die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
> [mm]f(x,y)=P(X=x,Y=y)_[/mm].
Ups, dass habe ich doch glat überlesen.
Aber wie bestimme ich die gemeinsame Dichtefunktion f(x,y), bei abhängigen ZV?
Gruß
Olli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 20.12.2010 | | Autor: | luis52 |
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> Aber wie bestimme ich die gemeinsame Dichtefunktion f(x,y),
> bei abhängigen ZV?
>
So allgemein formuliert kann man die Frage nicht beantworten.
vg Luis
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Ok ich versuche mein Problem mal etwas genauer darzustellen.
Stelle dir vor, du hast eine Mehrfachsteckdose und an diese Steckdose sind unterschiedliche Verbraucher angeschlossen. Von diesen Verbrauchern hast du über eine ausreichend lange Zeit den Stromverbrauch [mm] I_{n}(t) [/mm] gemessen. Nun möchtest du gerne Wissen, wie sich der gesammte Stromverbrauch der Mehrfachsteckdose [mm] I_{M}(t) [/mm] verhält.
Dazu kommt, dass die Verbraucher teilweise ein Abhängigkeit aufweisen.
Hier ein Beispiel:
Über die Mehrfachsteckdose wird eine Heizung und ein PC versorgt. Dabei verbraucht die Heizung eine gewissen Grundstrom [mm] I_{H}, [/mm] wenn sie die Temperatur konstant halten soll. Da die Heizung elektronisch geregelt wird, ist der Strom manchmal etwas höher und dann wieder etwas niedrieger, somit kann ich dann eine Verteilungsfunktion des Stromverbrauchs von der Heizung aufstellen.
Mit dem PC verhält sich das ähnlich, dieser verbraucht einen gewissen Grundstrom [mm] I_{P} [/mm] und je nachdem, wie stark der PC ausgelastet wird oder nicht, schwankt der Stromverbrauch um [mm] I_{P} [/mm] und ich kann wieder eine Verteilung des Stromverbrauchs erstellen. u
Wenn die Geräte nun in zwei unterschiedlichen Räumen stehen und keinen Einfluss aufeinander ausüben (Heizung heizt den einen Raum auf konstnate 20°C und der PC ist eingeschaltet), dann kann man durch Faltung der beiden Verteilung, von den Verbrauchern, die Verteilung des Stromverbrauchs der Mehrfachsteckdose bestimmen, welcher dann um den Wert [mm] I_{M} [/mm] = [mm] I_{H}+I_{P} [/mm] schwanken wird.
Nun stelle ich diese Geräte in einen kleinen Raum und die Heizung ist so eingestellt, dass sie die Temperatur im Raum konstant bei 20°C halten soll und der PC wird eingeschaltet. Nach einer gewissen Zeit wird der PC durch seine Abwärme den Raum zusätzlich aufheizen und die Heizung braucht nicht mehr Ihren Grundstrom [mm] I_{H} [/mm] sondern brauch nun weniger Strom.
Nun sind die Systeme nicht mehr unabhägig von einander, denn wenn der Stromverbrauch des PC hoch geht und die Abwärme steigt, geht der Stromverbrauch der Heizung herunter. Wenn ich mir nun die Verteilung des Stromverbrauchs der Mehrfachsteckdose anschaue, wird der Stromverbrauch nicht mehr um [mm] I_{M} [/mm] = [mm] I_{H}+I_{P} [/mm] schwanken sondern wird kleiner sein wird dann um [mm] I_{M1} [/mm] = [mm] I_{H1}+I_{P} [/mm] schanken.
Ich kann die Abhängigkeit durch Korrelation und Signifikanztest belegen.
Wie kann ich nun die Verteilung zweier Systeme bestimmen, die eine gewisse Abhängigkeit aufweisen?
Ein trivialer Ansatz zur Lösung meines BSP wäre natürlich, dass ich erst die Stromverläufe [mm] I_{H}(t) [/mm] und [mm] I_{P}(t) [/mm] zu [mm] I_{M}(t)= I_{H}(t)+I_{P}(t) [/mm] aufaddieren könnt und erst dann die Verteilung von [mm] I_{M}(t) [/mm] bestimmen. Leider werden mir zukünftig nur noch die Verteilungsfunktionen der Verbraucher zur Verfügung stehen haben und somit ist dies dann nicht mehr möglich, allerdings wird sich die Abhängigkeiten zwischen den Systemen nicht ändern, bzw. die Abhängigkeit zwischen den Systemen wird gleich bleiben .
Ich hoffe, dieses BSP schreckt nicht gleich ab.
Danke schon mal im Vorraus
Olli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 21.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Ich habe mit deinem Anliegen Schwierigkeit, die gemeinsame Verteilung
*bestimmen* zu wollen. Im allgemeinen unterstellt man einen gewissen Mechanismus, der einem das Zustandekommen beobachteter Daten hinreichend gut erklaert, also ein Modell.
Ich lese heraus, dass du die Verteilung des bivariaten stochastischen
Prozesses [mm] $(I_{H}(t),I_{P}(t))$ [/mm] modellieren willst, um damit auf [mm] $(I_{H}(t)+I_{P}(t))$ [/mm] zu schliessen, wobei die Zufallsvariablen stetig verteilt sind und nicht, wie in in der Diskussion bislang unterstellt, als diskret angenommen werden.
Ich fuehle mich leider nicht hinreichend kompetent, um dir hier zu helfen zu koennen.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mi 29.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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