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| Aufgabe | Seien $a, b : [0,l] [mm] \to \tilde [/mm] B [mm] \subset \IR^3$ [/mm] zwei Abbildungen. Sei
$A := [mm] \{t \in [0,l] \ | \ a(t)=b(t) \} \subset [/mm] [0,l]$. A ist nicht leer und abgeschlossen. |
Hallo zusammen,
sind meine Gedanken richtig?
A ist nicht leer, da [mm] $\tilde [/mm] p(0) = a(0) = b(0) [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] A$ (Anmerkung: Ich weiß, dass [mm] $\tilde [/mm] p(0)$ existiert!)
A ist abgeschlossen, da $[0,l]$ abgeschlossen ist.
LG
fagottator
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]a, b : [0,l] \to \tilde B \subset \IR^3[/mm] zwei
> Abbildungen. Sei
> [mm]A := \{t \in [0,l] \ | \ a(t)=b(t) \} \subset [0,l][/mm]. A ist
> nicht leer und abgeschlossen.
> Hallo zusammen,
>
> sind meine Gedanken richtig?
>
> A ist nicht leer, da [mm]\tilde p(0) = a(0) = b(0) \Rightarrow 0 \in A[/mm]
> (Anmerkung: Ich weiß, dass [mm]\tilde p(0)[/mm] existiert!)
ich habe keine Ahnung, was [mm] $\tilde{p}(0)$ [/mm] sein soll. Wenn Du weißt, dass $a(0)=b(0)$ gilt, dann ist natürlich in der Tat $0 [mm] \in [/mm] A$ und damit $A [mm] \not= \emptyset\,.$
[/mm]
> A ist abgeschlossen, da [mm][0,l][/mm] abgeschlossen ist.
Das ist definitiv zu wenig argumentiert. Gehe es doch so an:
Wir betrachten [mm] $[0,l]\,$ [/mm] mit der von [mm] $\IR$ [/mm] induzierten Metrik. Sei [mm] $(t_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nun irgendeine Folge in [mm] $A\,$ [/mm] MIT DER EIGENSCHAFT, dass [mm] $t_n \to [/mm] t$ MIT EINEM [mm] $\blue{t \in \IR}$ [/mm] gilt: Kurz: Wir betrachten irgendeine Folge mit Folgengliedern in [mm] $A\,,$ [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert.
Zu zeigen ist nun, dass auch $t [mm] \in [/mm] A$ gilt, oder kurz: Deren Grenzwert liegt dann auch in [mm] $A\,.$
[/mm]
Wegen der Abgeschlossebheit von [mm] $[0,l]\,$ [/mm] und weil alle [mm] $t_n$ [/mm] insbesondere auch in [mm] $[0,l]\,$ [/mm] liegen, ist $t [mm] \in [0,l]\,$ [/mm] klar. Dass aber auch $a(t)=b(t)$ gilt, ist unklar. Wären [mm] $a,b\,$ [/mm] aber etwa allerdings stetige Abbildungen, so würde dies aus
[mm] $$a(t_n) \to [/mm] a(t)$$
und
[mm] $$a(t_n)=b(t_n) \to [/mm] b(t)$$
folgen, denn dann würde [mm] $(a(t_n))_n$ [/mm] sowohl gegen $a(t)$ als auch gegen $b(t)$ konvergieren. Weil [mm] $\IR^3$ [/mm] ein metrischer Raum ist, ist der Grenzwert von [mm] $(a(t_n))_n$ [/mm] aber eindeutig, also würde [mm] $a(t)=b(t)\,$ [/mm] folgen.
Gruß,
Marcel
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