Abgeschlossenheit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 10.06.2012 | | Autor: | Infty |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben ist ein metrischer Raum $(X,d)={\mathbb{R},|.|)$
Ist $M = \bigcup_{n\in \mathbb{N}} [\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1}] abgeschlossen? |
Ich habe folgende Aufgabe. Die Lösung die angegeben ist sagt das M nicht abgeschlossen ist.
Um eine Übersicht über M zu bekommen kann ich ja schreiben:
$M=\ldots\cup [\frac{1}{6},\frac{1}{5}]\cup [\frac{1}{4},\frac{1}{3}]\cup [\frac{1}{2},\frac{1}{1}]$
Wenn ich jetzt die Definition verwende:
$M$ heißt abgeschlossen falls $X\setminus M$ offen ist
Es gilt ja:
$X\setminus M=\ldots\cup (\frac{1}{7},\frac{1}{6})\cup (\frac{1}{5},\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{3},\frac{1}{2})\cup (1,\infty)$
Da sieht für mich offen aus. Also sollte doch M abgeschlossen sein oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist ein metrischer Raum [mm](X,d)={\mathbb{R},|.|)[/mm]
das ist nicht IRGENDEIN metrischer Raum, sondern tatsächlich ein spezieller: Nämlich [mm] $\IR$ [/mm] mit der vom Betrag induzierten Metrik!
Deswegen sollte da eher stehen: Gegeben ist DER metrische Raum [mm] $(X,d)=(\IR,|.|)$ [/mm] (wobei ich am Ende eher [mm] $d_{|.|}$ [/mm] für die vom Betrage her induzierte Metrik benutzt hätte, denn [mm] $|.|\,$ [/mm] ist selbst erstmal eine Norm auf [mm] $\IR\,,$ [/mm] die wiederum eine Metrik induziert).
> Ist $M = [mm]\bigcup_{n\in \mathbb{N}} [\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1}][/mm]
> abgeschlossen?
> Ich habe folgende Aufgabe. Die Lösung die angegeben ist
> sagt das M nicht abgeschlossen ist.
> Um eine Übersicht über M zu bekommen kann ich ja
> schreiben:
> [mm]M=\ldots\cup [\frac{1}{6},\frac{1}{5}]\cup [\frac{1}{4},\frac{1}{3}]\cup [\frac{1}{2},\frac{1}{1}][/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Definition verwende:
> [mm]M[/mm] heißt abgeschlossen falls [mm]X\setminus M[/mm] offen ist
>
> Es gilt ja:
> [mm]X\setminus M=\ldots\cup (\frac{1}{7},\frac{1}{6})\cup (\frac{1}{5},\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{3},\frac{1}{2})\cup (1,\infty)[/mm]
>
> Da sieht für mich offen aus. Also sollte doch M
> abgeschlossen sein oder?
Das sieht nur so aus, weil Du halt nicht vollständig alles hingeschrieben hast. Würdest Du das tun, so würdest Du sehen, dass [mm] $\IR \setminus M=(-\infty,0] \cup \ldots \cup (\frac{1}{7},\frac{1}{6})\cup (\frac{1}{5},\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{3},\frac{1}{2})\cup (1,\infty)\,,$ [/mm] oder noch besser
[mm] $$\IR \setminus M=(-\infty,0] \cup \left( \bigcup_{n \in \IN} \Big(\frac{1}{2n+1},\;\frac{1}{2n}\Big)\right) \cup (1,\infty)$$
[/mm]
gilt. Und das sieht nun nicht mehr so offen aus.
P.S.
Die genannte Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist übrigens weder offen noch abgeschlossen. Und dass sie nicht offen sein kann, erkennst Du leicht, weil $1 [mm] \in M\,,$ [/mm] aber keine noch so kleine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] (mit [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) um die [mm] $1\,$ [/mm] komplett in [mm] $M\,$ [/mm] liegen kann.
Dass [mm] $M\,$ [/mm] nicht abgeschlossen sein kann, erkennt man wiederum leicht, weil es natürlich leicht ist, eine Folge in [mm] $M\,$ [/mm] anzugeben, die (in [mm] $\IR$) [/mm] gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergiert. Aber es gilt $0 [mm] \notin M\,.$
[/mm]
P.P.S.
Das Problem ist halt: Du hast einfach angenommen, dass Du [mm] $X\setminus M=\IR \setminus [/mm] M$ korrekt hingeschrieben hast. Du hättest auch versuchen sollen, zu beweisen, dass einerseits [mm] $\IR \setminus [/mm] M$ Teilmenge der von Dir genannten Menge ist, und dass andererseits auch die von Dir genannte Menge Teilmenge von [mm] $\IR \setminus [/mm] M$ ist. Während Du die letztgenannte Teilmengenbeziehung beweisen kannst, wärst Du dann daran gescheitert
[mm] $$(\IR \setminus M)\;\; \red{\subseteq}\;\; \left(\ldots\cup (\frac{1}{7},\frac{1}{6})\cup (\frac{1}{5},\frac{1}{4})\cup (\frac{1}{3},\frac{1}{2})\cup (1,\infty)\right)$$
[/mm]
nachzuweisen. Denn rechterhand wird bspw. das Element $-1 [mm] \in \IR \setminus [/mm] M$ nicht erfasst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
