Abelsche Gruppe/ Exp/ ggT/ kgV < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine ablesche Gruppe. Seien x,y [mm] \in [/mm] G von endlicher Ordnung, a = ord(x), b = ord(y). Sei r := k.g.V.(a,b) (kleinster gemeinsamer Vielfache), s := ggT(a,b) (größter gemeinsamer Teiler).
a) Sei t [mm] \in [/mm] <x> [mm] \cap [/mm] <y> , wobei <x> = [mm] \{ x^m | m \in \IZ \} [/mm] , <y> [mm] =\{ y^n | n \in \IZ \}.
[/mm]
Dann gilt : [mm] t^s [/mm] = e
b) Sei G nun eine endliche abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass eine ganze Zahl a > 0 existiert ( Das Exponent von G ) sodass [mm] x^a [/mm] =e für alle x [mm] \in [/mm] G, und, für b ganze Zahl mit 0 < b < a gibt es ein x mit [mm] x^b \not= [/mm] e. Hinweis: a = ord(k.g.V. [mm] (\{ Ord(x): x \in G \}). [/mm] |
Huhu zusammen!
Also vielleicht erst die a:
Meine Überlegungen bis jetzt:
ord(x) = ord (<x>) = a
ord(y) = ord (<y>) = b
wobei ord(x) = [mm] min\{ j | j > 0, x^j = e \}
[/mm]
also wissen wir, dass
[mm] x^a [/mm] = [mm] y^b [/mm] = e
Gilt dies, muss auch
[mm] x^{as} [/mm] = [mm] y^{bs} [/mm] = e gelten, wegen [mm] x^{as} [/mm] = [mm] x^{a^s} [/mm] = [mm] e^s [/mm] = e
Wenn t aus dem Schnitt ist, gilt ja gerade für gewisse m, n , dass
t = [mm] x^m [/mm] = [mm] y^n [/mm] ist.
Und somit auch
[mm] t^s [/mm] = [mm] x^{ms} [/mm] = [mm] y^{ns} [/mm]
jetzt muss man wohl die Eigenschaft benutzen, dass s der größte gemeinsame teiler von a und b ist. allerdings haperts an der Stelle, da ich nich weiß wie genau ich das Wissen benutzen kann mit dem ggT(a,b) = s.
Liebe Grüße
Eve
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Hallo,
> Sei G eine ablesche Gruppe. Seien x,y [mm]\in[/mm] G von endlicher
> Ordnung, a = ord(x), b = ord(y). Sei r := k.g.V.(a,b)
> (kleinster gemeinsamer Vielfache), s := ggT(a,b) (größter
> gemeinsamer Teiler).
>
>
> a) Sei t [mm]\in[/mm] <x> [mm]\cap[/mm] <y> , wobei <x> = [mm]\{ x^m | m \in \IZ \}[/mm]
> , <y> [mm]=\{ y^n | n \in \IZ \}.[/mm]
>
> Dann gilt : [mm]t^s[/mm] = e
>
>
> b) Sei G nun eine endliche abelsche Gruppe. Zeigen Sie,
> dass eine ganze Zahl a > 0 existiert ( Das Exponent von G )
> sodass [mm]x^a[/mm] =e für alle x [mm]\in[/mm] G, und, für b ganze Zahl mit
> 0 < b < a gibt es ein x mit [mm]x^b \not=[/mm] e. Hinweis: a =
> ord(k.g.V. [mm](\{ Ord(x): x \in G \}).[/mm]
> Huhu zusammen!
>
> Also vielleicht erst die a:
> Meine Überlegungen bis jetzt:
>
> ord(x) = ord (<x>) = a
> ord(y) = ord (<y>) = b
>
> wobei ord(x) = [mm]min\{ j | j > 0, x^j = e \}[/mm]
>
> also wissen wir, dass
>
> [mm]x^a[/mm] = [mm]y^b[/mm] = e
>
> Gilt dies, muss auch
>
> [mm]x^{as}[/mm] = [mm]y^{bs}[/mm] = e gelten, wegen [mm]x^{as}[/mm] = [mm]x^{a^s}[/mm] = [mm]e^s[/mm] =
> e
>
> Wenn t aus dem Schnitt ist, gilt ja gerade für gewisse m,
> n , dass
>
>
> t = [mm]x^m[/mm] = [mm]y^n[/mm] ist.
>
> Und somit auch
>
> [mm]t^s[/mm] = [mm]x^{ms}[/mm] = [mm]y^{ns}[/mm]
>
> jetzt muss man wohl die Eigenschaft benutzen, dass s der
> größte gemeinsame teiler von a und b ist. allerdings
> haperts an der Stelle, da ich nich weiß wie genau ich das
> Wissen benutzen kann mit dem ggT(a,b) = s.
Ich sehe keinen Weg wie das vorgehen zum Ziel führt.
Es ist $ [mm] t\in [/mm] <x>$, damit insbesondere [mm] $t^a=e$, [/mm] analog für y.
Benutze das Lemma von Bezout.
>
> Liebe Grüße
>
> Eve
P.S. Ich hab noch nie jemanden etwas anderes als kgV schreiben sehen und es ist der Exponent.
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> Hallo,
>
> > P.S. Ich hab noch nie jemanden etwas anderes als kgV
> > schreiben sehen
>
> bestimmt doch: lcm
> (![[]](/images/popup.gif) least common multiple).
> Aber Du hast recht, denn Du
> meinst das ja nur bzgl. der deutschen Sprache. 
>
> Aber auf die englischen Bezeichnungen kann man dennoch mal
> hinweisen,
> auch gcd für ggT (das kann jemand, der Interesse hat,
> sicher selbst rausfinden,
> woher das Kürzel kommt).
Uns sogar nur (a,b) statt ggT(a,b) bzw gcd(a,b)
> > und es ist der Exponent.
>
> In der Tat: DER. 
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > P.S. Ich hab noch nie jemanden etwas anderes als kgV
> > > schreiben sehen
> >
> > bestimmt doch: lcm
> > (least common multiple).
> > Aber Du hast recht, denn Du
> > meinst das ja nur bzgl. der deutschen Sprache.
> >
> > Aber auf die englischen Bezeichnungen kann man dennoch mal
> > hinweisen,
> > auch gcd für ggT (das kann jemand, der Interesse hat,
> > sicher selbst rausfinden,
> > woher das Kürzel kommt).
> Uns sogar nur (a,b) statt ggT(a,b) bzw gcd(a,b)
das habe ich auch mal in einem deutschsprachigen Buch, ich glaube, zur
analytischen Zahlentheorie, aus den 1970er gesehen. Fand' ich jetzt aber
nicht so wirklich toll, diese Notation ^^
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > P.S. Ich hab noch nie jemanden etwas anderes als kgV
> > > > schreiben sehen
> > >
> > > bestimmt doch: lcm
> > > (least common multiple).
> > > Aber Du hast recht, denn Du
> > > meinst das ja nur bzgl. der deutschen Sprache.
> > >
> > > Aber auf die englischen Bezeichnungen kann man dennoch mal
> > > hinweisen,
> > > auch gcd für ggT (das kann jemand, der Interesse
> hat,
> > > sicher selbst rausfinden,
> > > woher das Kürzel kommt).
> > Uns sogar nur (a,b) statt ggT(a,b) bzw gcd(a,b)
>
> das habe ich auch mal in einem deutschsprachigen Buch, ich
> glaube, zur
> analytischen Zahlentheorie, aus den 1970er gesehen. Fand'
> ich jetzt aber
> nicht so wirklich toll, diese Notation ^^
Du kannst so toll finden oder nicht, die ist aber komplett üblich und im Kontext besteht auch keinerlei Verwechslungsgefahr.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > P.S. Ich hab noch nie jemanden etwas anderes als kgV
> > > > > schreiben sehen
> > > >
> > > > bestimmt doch: lcm
> > > > (least common multiple).
> > > > Aber Du hast recht, denn Du
> > > > meinst das ja nur bzgl. der deutschen Sprache.
>
> > > >
> > > > Aber auf die englischen Bezeichnungen kann man dennoch mal
> > > > hinweisen,
> > > > auch gcd für ggT (das kann jemand, der Interesse
> > hat,
> > > > sicher selbst rausfinden,
> > > > woher das Kürzel kommt).
> > > Uns sogar nur (a,b) statt ggT(a,b) bzw gcd(a,b)
> >
> > das habe ich auch mal in einem deutschsprachigen Buch, ich
> > glaube, zur
> > analytischen Zahlentheorie, aus den 1970er gesehen. Fand'
> > ich jetzt aber
> > nicht so wirklich toll, diese Notation ^^
> Du kannst so toll finden oder nicht, die ist aber komplett
> üblich und im Kontext besteht auch keinerlei
> Verwechslungsgefahr.
okay, dann werde ich mich sicher irgendwann dran gewöhnen
(können/müssen).
Aber für den kgV gibt's dann keine noch verkürzendere Notation? (Nur
der Vollständigkeit halber!)
Gruß,
Marcel
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> Hi,
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> > > Hallo,
> > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > P.S. Ich hab noch nie jemanden etwas anderes als kgV
> > > > > > schreiben sehen
> > > > >
> > > > > bestimmt doch: lcm
> > > > > (least common multiple).
> > > > > Aber Du hast recht, denn Du
> > > > > meinst das ja nur bzgl. der deutschen Sprache.
> >
> > > > >
> > > > > Aber auf die englischen Bezeichnungen kann man dennoch mal
> > > > > hinweisen,
> > > > > auch gcd für ggT (das kann jemand, der
> Interesse
> > > hat,
> > > > > sicher selbst rausfinden,
> > > > > woher das Kürzel kommt).
> > > > Uns sogar nur (a,b) statt ggT(a,b) bzw gcd(a,b)
> > >
> > > das habe ich auch mal in einem deutschsprachigen Buch, ich
> > > glaube, zur
> > > analytischen Zahlentheorie, aus den 1970er gesehen. Fand'
> > > ich jetzt aber
> > > nicht so wirklich toll, diese Notation ^^
> > Du kannst so toll finden oder nicht, die ist aber
> komplett
> > üblich und im Kontext besteht auch keinerlei
> > Verwechslungsgefahr.
>
> okay, dann werde ich mich sicher irgendwann dran gewöhnen
> (können/müssen).
>
> Aber für den kgV gibt's dann keine noch verkürzendere
> Notation? (Nur
> der Vollständigkeit halber!)
Keine die ich jemals gesehen hab.
> Gruß,
> Marcel
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Hey
Sry für das schlechte Deutsch, unser Professor ist Amerikaner und ich habs einfach 1 zu 1 vom Übungsblatt kopiert^^
Wieso folgt denn aus t [mm] \in [/mm] <x> , dass [mm] t^a [/mm] = e ist?
Jedenfalls zu a)
[mm] t^s [/mm] = [mm] t^{ggT(a,b)} [/mm]
nach Bezout ist das
= [mm] t^{fa + gb} [/mm] für f,g [mm] \in \IZ [/mm]
= [mm] t^{fa} [/mm] * [mm] t^{gb} [/mm]
[mm] =t^{a^f} [/mm] * [mm] t^{b^g}
[/mm]
= [mm] e^g [/mm] * [mm] e^f [/mm] = e
Nun zu b)
Logisch ist das klar:
a = kgV({ord(x): x [mm] \in [/mm] X}
G ist endlich und abelsch.
Jedes [mm] x_i [/mm] aus G hat eine [mm] ord(x_i) [/mm] < [mm] \infty [/mm] .
Ist nun a kgV nach Def, so ist dieses a ja ein Vielfaches der [mm] ord(x_i), [/mm] weswegen man das wie bei a mit den potenzen tauschen kann, sodass dort e^? steht und dies wieder e ist
Also seien [mm] x_1 [/mm] , ... , [mm] x_n [/mm] aus G mit [mm] ord(x_1) [/mm] = [mm] o_1 [/mm] , .... , [mm] ord(x_n) [/mm] = [mm] o_n
[/mm]
Dann ist a ein Vielfaches von all dieses Ordnungen, d.h. ich kann schreiben
[mm] o_1 [/mm] = a * [mm] m_1
[/mm]
...
[mm] o_n [/mm] = a * [mm] m_n
[/mm]
Somit ist analog wie bei a :
[mm] (x_i)^a [/mm] = [mm] (x_i)^{\bruch{o_i}{m_i}} [/mm] = [mm] (e)^{\bruch{1}{m_i}} [/mm] = e
Sei nun b gegeben mit 0 < b < a
Dann wissen wir ja, dass b kein Vielfaches der ordnung sein kann. Und da ord(x) = min{ j| j > 0 , [mm] x^j [/mm] = e } ist.,
d.h. es muss ein x geben mit zugehöriger ordnung o , sodass [mm] x^b [/mm] kein Vielfaches von der Ordnung sein kann, und da diese ordnung das minimum beschreibt, muss schließlich [mm] x^b \not= [/mm] e sein.
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> Hey
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> Sry für das schlechte Deutsch, unser Professor ist
> Amerikaner und ich habs einfach 1 zu 1 vom Übungsblatt
> kopiert^^
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> Wieso folgt denn aus t [mm]\in[/mm] <x> , dass [mm]t^a[/mm] = e ist?
Das ist eine gute Frage. Generell gilt für endliche Gruppen [mm] $a^{|G|}=e$ [/mm] für alle a in G. (kann man z.B. aus dem Satz von Lagrange folgern).
In Anbetracht der b) hattet ihr das aber wohl noch nicht.
Da die Gruppe zyklisch ist, ist t von der Form [mm] $t=x^f$ [/mm] und damit ist [mm] $t^a=x^{af}$
[/mm]
> Jedenfalls zu a)
>
> [mm]t^s[/mm] = [mm]t^{ggT(a,b)}[/mm]
>
> nach Bezout ist das
>
> = [mm]t^{fa + gb}[/mm] für f,g [mm]\in \IZ[/mm]
>
> = [mm]t^{fa}[/mm] * [mm]t^{gb}[/mm]
>
> [mm]=t^{a^f}[/mm] * [mm]t^{b^g}[/mm]
>
> = [mm]e^g[/mm] * [mm]e^f[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= e
>
Passt.
>
> Nun zu b)
>
> Logisch ist das klar:
>
> a = kgV({ord(x): x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X}
>
> G ist endlich und abelsch.
>
> Jedes [mm]x_i[/mm] aus G hat eine [mm]ord(x_i)[/mm] < [mm]\infty[/mm] .
Und da es nur endliche viele Elemente der Gruppe gibt existiert der kgV.
> Ist nun a kgV nach Def, so ist dieses a ja ein Vielfaches
> der [mm]ord(x_i),[/mm] weswegen man das wie bei a mit den potenzen
> tauschen kann, sodass dort e^? steht und dies wieder e ist
>
>
> Also seien [mm]x_1[/mm] , ... , [mm]x_n[/mm] aus G mit [mm]ord(x_1)[/mm] = [mm]o_1[/mm] , ....
> , [mm]ord(x_n)[/mm] = [mm]o_n[/mm]
>
> Dann ist a ein Vielfaches von all dieses Ordnungen, d.h.
> ich kann schreiben
>
> [mm]o_1[/mm] = a * [mm]m_1[/mm]
>
> ...
>
> [mm]o_n[/mm] = a * [mm]m_n[/mm]
>
> Somit ist analog wie bei a :
>
> [mm](x_i)^a[/mm] = [mm](x_i)^{\bruch{o_i}{m_i}}[/mm] = [mm](e)^{\bruch{1}{m_i}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=
> e
>
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>
> Sei nun b gegeben mit 0 < b < a
>
> Dann wissen wir ja, dass b kein Vielfaches der ordnung sein
> kann. Und da ord(x) = min{ j| j > 0 , [mm]x^j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= e } ist.,
>
> d.h. es muss ein x geben mit zugehöriger ordnung o ,
> sodass [mm]x^b[/mm] kein Vielfaches von der Ordnung sein kann, und
> da diese ordnung das minimum beschreibt, muss schließlich
> [mm]x^b \not=[/mm] e sein.
Hier meinst du wohl das Richtige die Formulierung ist aber noch ausbaufähig. [mm] $x^b$ [/mm] z.B. ist ein Element der Gruppe und ist als solches nicht notwendig eine natürliche Zahl, also insbesondere kein Vielfaches einer Ordnung.
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