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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Zeige, dass eome Gruppe G, in der alle Elemente die Ordnung höchstens 2 besitzen, abelsch ist. Kann man daraus schließen, dass die Elemente der Ordnung 2 in einer Gruppe kommutieren?


Hallo Leute,

wollte fragen, ob das so korrekt sei.

Da steht ja höchstens 2, das heißt es kann auch Ordnung 1 sein, mit Ordnung 1 würde die Gruppe aber nur aus dem neutralen Element bestehen, da die Gruppenordnung, sprich die Anzahl der Element in der Gruppe gleich der Ordnung der einzelnen Elemente ist, weswegen sie sowieso abelsch ist, sprich das ganze ist trivial.

Nun zum Fall, dass die Gruppe die Ordnung 2 hat:

G=(e,a)

Wobei e+a=a+e=a ja immer gilt.

Da es eine Gruppe ist, muss es zu jedem Element ein Inverses geben:

e+e=e und a+a=e, sprich a ist zu sich selbst invers.

Da aber a zu sich selbst invers ist, kann ich die a vertauschen wie ich möchte und erhalte somit, dass G kommutativ ist.

Kann ich das so als Beweis führen?



        
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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 So 02.09.2012
Autor: SEcki


> Kann ich das so als Beweis führen?

Nein. Die Gruppe muss nicht nur aus 2 Elementen bestehen - jedes Element hat höchstens Ordnung 2! Wie zB die Kleinsche Vierergruppe [m]\IZ_2\times\IZ_2[/m].

SEcki


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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Das heißt die Anzahl der Element ist egal?

Ansich könnte ich zeigen, dass die Gruppe zyklisch ist und aus unserem Skript folgt aus zyklisch auch abelsch. Bei Wikipedia steht aber, dass die kleinsche Vierergruppe nicht zyklisch ist, aber abelsch, was meinem Skript ja widerspricht...

Edit: Habe mir noch weitere Gedanken gemacht. Die Elementarordnung muss die Gruppenordnung ja teilen, dass heißt doch, dass die Ordnung der Gruppe eine gerade Anzahl ist, richtig?


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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 So 02.09.2012
Autor: teo


> Das heißt die Anzahl der Element ist egal?

Nein, siehe dein "Edit"

> Ansich könnte ich zeigen, dass die Gruppe zyklisch ist und
> aus unserem Skript folgt aus zyklisch auch abelsch. Bei
> Wikipedia steht aber, dass die kleinsche Vierergruppe nicht
> zyklisch ist, aber abelsch, was meinem Skript ja
> widerspricht...

Lies die Aussage doch nochmal genau! Es gilt: zyklisch [mm] \Rightarrow [/mm] abelsch. Umgekehrt gilt diese Aussage nicht! Ein Gegenbeispiel ist die Kleinsche Vierergruppe. Also gibt es keinen Widerspruch zu deinem Skript!


> Edit: Habe mir noch weitere Gedanken gemacht. Die
> Elementarordnung muss die Gruppenordnung ja teilen, dass
> heißt doch, dass die Ordnung der Gruppe eine gerade Anzahl
> ist, richtig?

Ja

Grüße

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Habe jetzt ein paar Sachen ausprobiert in der Zwischenzeit und wollte mal fragen, ob es geschickter ist zu zeigen, dass G zyklisch ist und demnach abelsch oder abelsch direkt zu zeigen? Habe schon mit den Axiomen rumprobiert, aber klappt noch nicht so ganz.

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 So 02.09.2012
Autor: teo

Wir haben doch gerade geklärt, dass es keinen Sinn macht zu zeigen, dass die Gruppe zyklisch ist. Muss ja eben gerade nicht sein!

Schau dir doch mal die kleinsche Vierergruppe an. Wie kann man zeigen, dass die abelsch ist.



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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Wozu soll denn die Aussage zyklisch => abelsch gut sein, das begreife ich gerade nicht, das heißt doch, wenn ich eine zyklische Gruppe habe, ist sie automatisch auch abelsch, somit könnte ich das doch auch belegen, auch wenn das in der Vierergruppe nicht gilt.

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 So 02.09.2012
Autor: teo

Also, du sollst zeigen dass eine Gruppe, in der jedes Element mindestens Ordnung 2 hat abelsch ist.

Wir wissen aus zyklisch folgt abelsch. Wir wissen auch das die [mm] V_4 [/mm] abelsch aber nicht zyklisch ist und jedes Element in [mm] V_4 [/mm] Ordnung 2 hat. Also bringt uns die Eigenschaft: aus zyklisch folgt abelsch nix!

Im übrigen gibt es in einer zyklischen Gruppe [mm] \IZ_n [/mm] zu jedem Teiler von n genau eine Untergruppe. D.h. alle zyklischen Gruppen [mm] \IZ_n [/mm] mit n > 2 fallen für deine Betrachtung weg. Also zyklisch bringt dir nix.

Du musst also direkt zeigen, dass die Gruppe abelsch ist.

Grüße

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Ich hatte bereits so begonnen:

Es gibt Elemente g und h [mm] \in [/mm] G, für die gilt [mm] g^2=e [/mm] und [mm] h^2=e [/mm] und wollte nun mit dem Ansatz irgendwie so lange rumbauen, bis ich auf gh=hg komme, ist das der richtige Weg? Habe jetzt schon einiges probiert und würde gerne wissen, ob ich das überhaupt richtig liege.

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 So 02.09.2012
Autor: Teufel

Hi!

Wenn du nicht weiter weißt, fang vielleicht mit dem Ziel an und forme es um. Wie wäre es z.B. mit gh=hg [mm] \gdw [/mm] h(gh)h=h(hg)g? kannst du irgendwie zeigen, dass die rechte Site der Äquivalenz stimmt?

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Meinst du?

gh=hg $ [mm] \gdw [/mm] $ h(gh)g=h(hg)g

Weil das andere verstehe ich nicht so ganz.


Könnte ich mit dem Ansatz beginnen:

[mm] g^2=e [/mm] und [mm] h^2=e [/mm]

=> [mm] g^2h^2=e [/mm]
=> [mm] h^2g^2=e [/mm]

=> gghh=hhgg

Und damit weitermachen?

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 So 02.09.2012
Autor: Teufel

Ups, genau, ich meinte h(gh)g=h(hg)g.

Zu deinem Vorschlag: Ich sehe gerade nicht, wie man da weiter machen könnte. Aber man kann sich das sicher irgendwie zurechtfriemeln.

Zu meinem Vorschlag: Es gilt ja rechte Seite=h(hg)g=(hh)(gg)=ee=e. Also hast du h(gh)g=e. Und das gilt ja, weil...?

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 So 02.09.2012
Autor: AntonK

Soweit komme ich zurecht ok, aber mit dem neuen Gedankengang gerade nicht, ich beweise das ja jetzt andersrum, ich sage G ist abelsch und will jetzt daraus folgern, dass es höchstens Elemente der Ordnung 2 gibt. Nunja, g und h sind Elemente der Ordnung 2, das heißt doch dann:

h(gh)g=heg=hg=e

Da ja wegen der Ordnung hg=e ist, richtig?

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Nein, wieso sollte hg=e sein?

Du willst nun h(gh)g=e zeigen. Du kannst h(gh)g auch als (hg)(hg) schreiben. Also (hg)(hg)=e. Was sagst du nun?

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:06 Mo 03.09.2012
Autor: AntonK

Das habe ich auch erst gedacht, aber warum sollte hghg=e sein? Das gleiche Problem hatte ich auch schon bei der kleinschen Vierergruppe mit abab=e, ich sehe das nicht ein, nehme ich da einfach hg als ein Element der Ordnung 2 an?

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Genau, hg hat Ordnung 2. Wieso ist das so?

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:21 Mo 03.09.2012
Autor: AntonK

Naja, weil g und h die Ordnung 2 haben und somit auch hg oder?

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Hattet ihr irgendeinen Satz, der das besagt? Wenn ja, dann kannst du ihn verwenden. :)

Ansonsten: hg ist ein Element der Gruppe G. Was war denn bei dieser Gruppe die Voraussetzung?

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Abelsche Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:34 Mo 03.09.2012
Autor: AntonK

Ja, das die Gruppe abelsch ist, sprich hghg=gghh=ee=e, meinst du das?

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Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Nein. Die Voraussetzung ist doch, dass ALLE Elemente aus G höchstens Ordnung 2 besitzen! Nun, hg ist irgendein Element aus G. Daher ist (hg)(hg)=e.

Das kannst du nun auch so raum aufschreiben. Du startest mit (hg)(hg)=e und zeigst dann rückwärts zu dem was ich gemacht habe, dass dann gh=hg folgt.

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Abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:39 Mo 03.09.2012
Autor: AntonK

Alles klar, danke für den Aufwand, ich muss mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, wenn wir haben ja umgedreht gestaret, sprich mit abelsch und wollte dann zeigen, dass es höchstes Elemente der Ordnung 2 gibt, sprich für mich war das nicht die Vorraussetzung, sondern, dass was zu zeigen war.

Danke aufjedenfall!

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Abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:50 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Ok, vielleicht war die Vorgehensweise etwas zu wirr. ich fasse das ganze nochmal zusammen:

Wollen zeigen: Alle Elemente in G haben Ordnung höchstens 2 [mm] \Rightarrow [/mm] G abelsch.

Dazu wollten wir gh=hg zeigen für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$. Dann habe ich im Prinzip nur eine Äquivalenzkette aufgestellt.

gh=hg [mm] \gdw [/mm] h(gh)g=h(hg)g [mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] (hg)(hg)=e.

Weil die Aussage ganz rechts aber nach Voraussetzung stimmt, weil hg offensichtlich höchstens Ordnung 2 hat, stimmt auch die Aussage ganz links, d.h. G ist abelsch. Wir haben auch NICHT G abelsch [mm] \Rightarrow [/mm] alle Elemente aus G haben höchstens Ordnung 2 gezeigt. Diese Implikation stimmt auch nicht. nimm z.B. [mm] \IZ/3\IZ. [/mm] Diese Gruppe ist bezüglich + abelsch, aber die 2 hat dort Ordnung 3.





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Abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:37 Mo 03.09.2012
Autor: AntonK

Ok, das sehe ich ein, noch eine letzte Sachen, dort steht ja "höchstens", was ist denn mit dem Fall der Ordnung 1? Erübrigt sich das einfach, da wenn alle Elemente die Ordnung 1 haben, die Ordnung der Gruppe sowieso prim ist und damit eh abelsch ist?

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Bezug
Abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:40 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Höchstens Ordnung 2 erschlägt den Fall, dass man g=e oder h=e gesondert betrachten muss. Man kann es auch so formulieren:

Zeige: Alle Elemente aus G außer e haben Ordnung 2 [mm] \Rightarrow [/mm] G abelsch.

Ist Geschmackssache, wie man es formuliert, bedeutet beides das gleiche.



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Bezug
Abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:46 Mo 03.09.2012
Autor: AntonK

Alles klar, danke dir für die Mühen zu so später Stunde! :D

Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Abelsche Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:51 Mo 03.09.2012
Autor: Teufel

Kein Problem! :)

Jetzt geht's aber ab ins Bett. Gute Nacht!

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