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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Do 24.11.2005 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich versteh einige Schritte bei einer Aufgabe nicht.
Also die Aufgabe lautet:
geg: (G,*) Gruppe der Ordnung [mm] p^{2} [/mm] (p Primzahl)
zz: G ist abelsch, [mm] d.h.Z_{G}=G [/mm]
[mm] Z_{G} [/mm] = { x [mm] \in [/mm] G | xg = gx [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G }
Beweis:
[mm] Z_{G} [/mm] ist Untergruppe von G
also ist [mm] |Z_{G}| [/mm] | |G|
und damit, da p eine Primzahl ist, sicher [mm] |Z_{G}| \in [/mm] { 1, p, [mm] p^{2} [/mm] }
.............................
Also ich versteh die 2. und dritte Zeile im Beweis nicht.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen
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> Also die Aufgabe lautet:
> geg: (G,*) Gruppe der Ordnung [mm] p^{2} [/mm] (p Primzahl)
> zz: G ist abelsch, [mm] d.h.Z_{G}=G [/mm]
> [mm] Z_{G} [/mm] = { x [mm] [\inG [/mm] | xg = gx [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G }
>
> Beweis:
> [mm] Z_{G}[st [/mm] Untergruppe von G
> also ist [mm] |Z_{G}| [/mm] | |G|
Das folgt nach dem Satz von Lagrange, welcher sagt: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung.
> und damit, da p eine Primzahl ist, sicher [mm] |Z_{G}| \in [/mm] { 1,
> p, [mm] [p^{2} [/mm] }
und da die einzigen Teiler der Gruppenordnung [mm] 1,p,p^2 [/mm] sind, muß die Untergruppenordnung eins von diesen sein.
Gruß v. Angela
> .............................
>
> Also ich versteh die 2. und dritte Zeile im Beweis nicht.
>
> Kann mir da bitte jemand weiterhelfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Do 24.11.2005 | | Autor: | cloe |
Danke für deine Hilfe.
Gruß
cloe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 24.11.2005 | | Autor: | cloe |
der Beweis geht wie folgt weiter:
Wegen dem Satz "Das Zentrum [mm] Z_{G} [/mm] besteht nicht aus g allein" ist nun aber [mm] |Z_{G}| [/mm] > 1, da G von Primzahlpotenzordnung ist.
Meine Frage: Ist [mm] Z_{G} [/mm] größer als 1, da es neben g noch andere Elemente besitzt?
Was hat die Ordnung von G damit zu tun?
Weiter lautet der Beweis:
Es bleibt [mm] |Z_{G}| \not= [/mm] p zu zeigen.
Wieso die Ungleichheit? Wenn die Gleichheit gezeigt wird, zeigt man doch, dass [mm] Z_{G} [/mm] = G ist oder nicht?
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> der Beweis geht wie folgt weiter:
>
> Wegen dem Satz "Das Zentrum [mm]Z_{G}[/mm] besteht nicht aus g
> allein" ist nun aber [mm]|Z_{G}|[/mm] > 1, da G von
> Primzahlpotenzordnung ist.
>
> Meine Frage: Ist [mm]Z_{G}[/mm] größer als 1, da es neben g noch
> andere Elemente besitzt?
> Was hat die Ordnung von G damit zu tun?
Nach der Klassengleichung ist die Mächtigkeit des Zentrums die Differenz zweier durch p teilbarer Zahlen. Also teilt p |Z(G)| . Es kommen für |Z(G)| nur noch p und [mm] p^2 [/mm] infrage.
>
> Weiter lautet der Beweis:
>
> Es bleibt [mm]|Z_{G}| \not=[/mm] p zu zeigen.
>
> Wieso die Ungleichheit?
Wenn man diese Ungleichheit gezeigt hat, bleibt für |Z(G)| nur noch [mm] p^2 [/mm] übrig, was bedeutet Z(G)=G.
Wenn die Gleichheit gezeigt wird,
> zeigt man doch, dass [mm]Z_{G}[/mm] = G ist oder nicht?
Nein, die Ordnung von G war doch mit [mm] p^2 [/mm] vorausgesetzt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Fr 25.11.2005 | | Autor: | cloe |
Danke.
Jetzt Hab ich es verstanden.
Gruß
cloe
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