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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 01.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Mir ist eine teil des satzes nicht ganz klar. Wir haben ihn so formuliert:
Es sei P = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n z^{n} [/mm] eine (komplexe) Potenzreihe mit Konvergenzradius p [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] und [mm] P(z_0) [/mm] konvergiere für ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] |z_0| [/mm] = p. Dann konvergeirt [mm] P(tz_0) [/mm] für ein t [mm] \in [/mm] [0,1] =:I gleichmäßig und definiert daher (wegen Satz xy) eine auf I stetige Funktion
Der letzt Teil warum man aus Satz xy die stetigkeit folgern kann ist mir unklar.
Hier der Satz:
Für i [mm] \in [/mm] IN seien [mm] f,f_i: [/mm] D [mm] \to [/mm] IC, und die Funktionsreihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} f_i [/mm] konvergiere auf D gleichmäßig gegen f = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} f_i. [/mm] Dann gilt:
Sind alle [mm] f_i [/mm] im Punkt a [mm] \in [/mm] D [bzw. auf ganz D] stetig, so ist auch f= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} f_i [/mm] in a [bzw. auf ganz D] stetig.
Wir wissen jetzt zwar, dass die gleichmäßige Konvergenz gilt, aber dass "alle [mm] f_i [/mm] stetig sind" gehlt mir im obigen satz bzw. erkenne ich es nicht ;).
lg und danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 01.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] f(t):=p(tz_0), [/mm] so ist
$f(t)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n z_0^{n}t^n [/mm] $,
also [mm] f=\summe_{n=0}^{\infty}f_n, [/mm] mit [mm] f_n(t)=a_nz_0^nt^n
[/mm]
Die [mm] f_n [/mm] sind tadellos stetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Di 02.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Jetzt ist mirs klar :)
danke für die Hilfe!
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