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| Aufgabe | Alles klar, los gehts :
Geben Sie bei den folgenden Abblindungen an, ob sie linear sind oder nicht. K ist jeweils ein beliebiger Körper.
1. f: [mm] M_{n,n}(K) \to [/mm] K , A [mm] \mapsto [/mm] det(A)
2 f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{\wurzel{2} x \\ y}
[/mm]
3. f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{1 \\ y} [/mm] |
Muss doch jetzt die Axiome überprüfen:
Sei V,W zwei K-Vektorräume, f: V [mm] \to [/mm] W heißt lineare Abb., fals gilt:
1. [mm] f(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] f(v) [mm] \forall \lambda \in [/mm] K und [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V .
2. f(u+v) = f(u) + f(v) [mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in [/mm] V
oder???
Aber wie mach ich das expliziet für diese Aufgaben, weiß nicht wie man das aufschreibt! Viele Grüße
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ich zeig dir das mal für 3.
[mm] \vektor{x \\ y} \to \vektor{1 \\ y}
[/mm]
du musst die von dir genannten bedingungen erfüllen:
1. z.z. [mm] f\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] f\vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] f(\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ b})
[/mm]
[mm] f\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] f\vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{1+1 \\ y+b}
[/mm]
[mm] f(\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ b}) [/mm] = [mm] f\vektor{x+a \\ y+b} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ y+b}
[/mm]
damit ist [mm] f\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] f\vektor{a \\ b} \not= f(\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ b})
[/mm]
die Abbildung ist also nicht linear da die 1. Bedingung nicht erfüllt ist (die 2. Bedingung kannst du dir dann sparen - funktioniert aber vom Prinzip ähnlich)
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe. Ist ja super einfach zu überprüfen! Danke!
Hab das jetzt mal für die andern beiden gemacht und da komm' ich auf folgende Ergebnisse:
zu 1. nein
zu 2. ja
will aber trotzdem nochmal nachfragen ob ichs richtig aus hab...viele Grüße der mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Di 12.12.2006 | | Autor: | choosy |
die determinante ist linear
, die 2. funktion ist auch linear, vorausgesetzt, das x steht nicht mit unter der Wurzel.
Korrektur, natürlich ist es die det nicht, höchstens wenn man sie als multilinearform auf den spalten ansieht... aber das ist ein anderes thema
sorry
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:03 Di 12.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich kann mich da an eine nette Gleichung erinnern:
sei A eine nxn Matrix, dann:
det($ [mm] \lambda [/mm] $*A)=$ [mm] \lambda^n [/mm] $*det(A)
ich hab die jetzt lange nicht mehr nachgeschaut, aber bist du dir sicher mit der linearität?!?
und die zweite Funktion sieht für mich auch ziemlich linear aus.
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 12.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast beide male recht.
Wenn eine Abbildung NICHT linear ist, reicht übrigens ein gegenbeispiel - du musst nicht alles durchrechnen...
Wenn sie linear ist, musst du allerdings beide Kriterien zeigen.
(hast du hoffentlich gemacht)
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge,
> Hi,
>
> du hast beide male recht.
>
meinst du damit mich?
Also erste: NICHT LINEAR, genau wegen dieser Gleichung mit dem
[mm] \lambda^{n} [/mm] det(A) [mm] \not= \lambda [/mm] det(A), oder?
und die zweite: habe ich raus, dass sie linear ist!
Hoffe du meldest dich nochmal und sagst mir ob ich auf dem richtigen Weg bin!?!?
Viele Grüße, der mathedepp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Blueman |
Ja, du hast recht.
Dass die Determinante nicht linear ist sieht man auch hieran:
I.A. det(A+B) [mm] \not= [/mm] det(A) + det(B)
>
> > Hi,
> >
> > du hast beide male recht.
> >
> meinst du damit mich?
> Also erste: NICHT LINEAR, genau wegen dieser Gleichung mit
> dem
> [mm]\lambda^{n}[/mm] det(A) [mm]\not= \lambda[/mm] det(A), oder?
>
> und die zweite: habe ich raus, dass sie linear ist!
>
> Hoffe du meldest dich nochmal und sagst mir ob ich auf dem
> richtigen Weg bin!?!?
>
> Viele Grüße, der mathedepp
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Danke Blueman,
du die zweite ist linear, oder?
viele grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Blueman |
Jepp, die 2. ist linear. Die 3. nicht.
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