Abbildungsmatrix in IR^2x3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Lenman |
| Aufgabe | a) Geben Sie eine Basis B des [mm]\IR[/mm]-Vektorraums V = [mm]\IR^{2x3}[/mm] an.
b) Sei f: V -> V der durch
[mm]f(A) = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \cdot A \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
1 & -4 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
gegebene Endomorphismus von V. Geben Sie die Abbildungsmatrix [mm]D_{BB}(f)[/mm] von f bezüglich der in a) gewählten Basis B an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen! Habe ein Problem bei obiger Aufgabe.
Für die a) habe ich einfach die Matrizen
[mm]b_1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
b_2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
b_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm] (usw. bis b6) gewählt.
Jetzt haben wir in Vorlesung und Übung immer nur Abbildungsmatrizen zwischen Vektorräumen mit Spalten bzw. Zeilenvektoren erstellt (z.B. [mm]\IR^n[/mm]), auch auf Wikipedia finde ich nur Infos zu solchen Abbildungsmatrizen.
Wie ist denn der Ansatz, wenn man die Abbildungsmatrix zwischen Matrizen sucht? Stehe da vollkommen auf dem Schlauch.
Was ich bisher habe, sind die Werte [mm]f(b_i)\ \forall\ i = 1, ..., 6[/mm], und über die Homomorphismus-Eigenschaften folgende Gleichung für eine beliebige 2x3 Matrix [mm]A = (a_{ij})[/mm]:
[mm]f(A) = f(a_{11}*b_1+\ldots+a_{23}*b_6) = a_{11}*f(b_1)+\ldots+a_{23}*f(b_6)[/mm]
Kann ich daraus die Abbildungsmatrix bestimmen?
Danke schonmal für eure Tips und Hinweise!
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> a) Geben Sie eine Basis B des [mm]\IR[/mm]-Vektorraums V = [mm]\IR^{2x3}[/mm]
> an.
> b) Sei f: V -> V der durch
> [mm]f(A) = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \cdot A \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
1 & -4 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> gegebene Endomorphismus von V. Geben Sie die
> Abbildungsmatrix [mm]D_{BB}(f)[/mm] von f bezüglich der in a)
> gewählten Basis B an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen! Habe ein Problem bei obiger Aufgabe.
>
> Für die a) habe ich einfach die Matrizen
> [mm]b_1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
b_2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
b_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> (usw. bis b6) gewählt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, damit hast Du die Standardbasis dieses Raumes.
>
> Jetzt haben wir in Vorlesung und Übung immer nur
> Abbildungsmatrizen zwischen Vektorräumen mit Spalten bzw.
> Zeilenvektoren erstellt (z.B. [mm]\IR^n[/mm]), auch auf Wikipedia
> finde ich nur Infos zu solchen Abbildungsmatrizen.
Erstmal lohnt es sich, dieses Sprüchelchen auswendig zu lernen - es ist das Darstellungsmatrizenkochrezept.
"In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] D_{BB}(f) [/mm] $ stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. B"
Nun geht's ans Kochen.
-In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] D_{BB}(f) [/mm] $ stehen die Bilder der Basisvektoren von B
Da B 6 Vektoren enthält, hat die Matrix 6 Spalten
-In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] D_{BB}(f) [/mm] $ stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung f
Wir brauchen die Bilder dieser 6 Basiselemente, also f( Einheitsmatrizen)
- In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] D_{BB}(f) [/mm] $ stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. B
Wir brauchen die Bilder der Basiselemente in Koordinaten bzgl B.
Ich mache das mal vor. Da ich keine Lust zum Multiplizieren habe, nehme ich einfach mal zu Demenstrationszwecken an, daß
[mm] f(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}=1b_1+2b_2+3b_3+4b_4+5b_5+6b_6=\vektor{1\\2\\3\\4\\5\\6}_{(B)},
[/mm]
und dies wäre dann die erste Spalte Deiner Darstellungsmatrix.
Gruß v. Angela
>
> Wie ist denn der Ansatz, wenn man die Abbildungsmatrix
> zwischen Matrizen sucht? Stehe da vollkommen auf dem
> Schlauch.
> Was ich bisher habe, sind die Werte [mm]f(b_i)\ \forall\ i = 1, ..., 6[/mm],
> und über die Homomorphismus-Eigenschaften folgende
> Gleichung für eine beliebige 2x3 Matrix [mm]A = (a_{ij})[/mm]:
>
> [mm]f(A) = f(a_{11}*b_1+\ldots+a_{23}*b_6) = a_{11}*f(b_1)+\ldots+a_{23}*f(b_6)[/mm]
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> Kann ich daraus die Abbildungsmatrix bestimmen?
>
> Danke schonmal für eure Tips und Hinweise!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Lenman |
Danke, ich wusste nicht, dass man die Matrizen dann einfach in Spalten-Vektoren umschreiben darf. So ist es ja dann simpel.
Noch, falls es jemanden interessiert, die fertige Abbildungsmatrix:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 4 \\
2 & -4 & -1 & 4 & -8 & -2 \\
0 & 1 & 3 & 0 & 2 & 6 \\
3 & 3 & 6 & 4 & 4 & 8 \\
6 & -12 & -3 & 8 & -16 & -4 \\
0 & 3 & 9 & 0 & 4 & 12
\end{pmatrix}[/mm]
So etwas hatte ich mir zuerst überlegt, aber dann verworfen weil ja diese 6x6 Matrix abbildet zwischen [mm]\IR^{6} \to \IR^{6}[/mm], und nicht zwischen [mm]\IR^{2x3} \to \IR^{2x3}[/mm]. Aber jetzt macht es doch Sinn.
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> So etwas hatte ich mir zuerst überlegt, aber dann
> verworfen weil ja diese 6x6 Matrix abbildet zwischen
> [mm]\IR^{6} \to \IR^{6}[/mm], und nicht zwischen [mm]\IR^{2x3} \to \IR^{2x3}[/mm].
> Aber jetzt macht es doch Sinn.
Hallo,
wenn Du jetzt f(Matrix) bestimmen willst mit Deiner Darstellungsmatrix, mußt Du natürlich "Matrix" umwandeln in einen Spaltenvektor des [mm] \IR^6.
[/mm]
Gruß v. Angela
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