Abbildungsmatrix + Basentrans. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 29.07.2007 | | Autor: | hussdl |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung T: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] habe bezüglich der kanonischen Basis die Matrix [mm] M_{T}^{E,E}= \pmat{ 4 & 4 \\ -2 & 2 }.
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix [mm] M_{T}^{B,B} [/mm] bezüglich der Basis B = [mm] \{{ \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1} }\} [/mm] |
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Hallo,
Hat jemand eine Idee, wie man diese Aufgabe angehen kann?
Gibt es eine Formel, welche die Zusammenhänge zwischen linearen Abbildungen und den Basen der Bild-und Urbildräume beschreibt?
Gruß,
Dani
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> Die lineare Abbildung T: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] habe bezüglich
> der kanonischen Basis die Matrix [mm]M_{T}^{E,E}= \pmat{ 4 & 4 \\ -2 & 2 }.[/mm]
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> Bestimmen Sie die Matrix [mm]M_{T}^{B,B}[/mm] bezüglich der Basis B
> = [mm]\{{ \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1} }\}[/mm]
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> Hallo,
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> Hat jemand eine Idee, wie man diese Aufgabe angehen kann?
> Gibt es eine Formel, welche die Zusammenhänge zwischen
> linearen Abbildungen und den Basen der Bild-und Urbildräume
> beschreibt?
Aber sicher (wobei bei dieser Aufgabe die Basen von Bild- und Urbildraum stets dieselbe, entweder die Standardbasis oder die neue Basis ist).
Ist [mm] $M_T^{E,E}$ [/mm] die Abbildungsmatrix der linearen Funktion $T$ bezüglich der Standardbasis $E$ und ist
[mm]B := \pmat{1 & 1\\ 1 & -1}[/mm]
die Matrix, die einen Vektor ausgedrückt in Koordinaten der neuen Basis in einen Vektor ausgedrückt in der Standardbasis transformiert, dann ist die Abbildungsmatrix von $T$ bezüglich dieser neuen Basis
[mm]M_T^{B,B} = B^{-1} \circ M_T^{E,E}\circ B[/mm]
Weshalb ist dies so? - Simpel: Stell Dir vor, Du hast also einen Vektor in Koordinaten bezüglich der Standardbasis und wendest nun [mm] $B^{-1} \circ M_T^{E,E}\circ [/mm] B$ auf diesen Vektor an: zuerst transformiert $B$ dessen Koordinaten in Koordinaten bezüglich der Standardbasis, dann bestimmt [mm] $M_T^{E,E}$ [/mm] dessen Bild unter $T$ in Koordinaten der Standardbasis und zum Schluss transformiert [mm] $B^{-1}$ [/mm] diesen Bildvektor wieder in Koordinaten der neuen Basis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 So 29.07.2007 | | Autor: | hussdl |
Vielen Dank, das ist ja eigentlich ganz einfach :D
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