Abbildungsmatrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Sa 02.06.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Welche Abbildungen werden durch die Matrizen A, B, C und D dargestellt?
A = [mm] $\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
B = [mm] $\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$
[/mm]
C = [mm] $\begin{pmatrix}
0,6 & 0,8 \\
0,8 & -0,6
\end{pmatrix}$
[/mm]
D = [mm] $\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$
[/mm]
2. Geben Sie die Abbildungsmatrix an für
a) eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit der Steigung 0,5;
b) eine Drehung um den Nullpunkt mit dem Drehwinkel 30°;
c) eine zentrische Streckung vom Nullpunkt aus mit dem Streckungsfaktor -2. |
Hallo zusammen,
hier meine Lösung, passt das so? Vielen Dank.
1.
a) cos(0) = 90° -> [mm] 2$\alpha=90°$, $\alpha [/mm] = 45°$, Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden
b) senkrechte Dehnung mit k=2
c) cos(-0,6) = 126,87° -> [mm] 2$\alpha=126,87°$, $\alpha [/mm] = 63,43°$ --> tan 63,43 = 2, Steigung m=2
Spiegelung an g: [mm] $\vec [/mm] x = [mm] \lambda \begin{pmatrix}1 \\2 \end{pmatrix}$
[/mm]
hierbei bin ich mir nicht sicher, bräuchte noch eine Erklärung dazu, wenn es stimmt.
d) Scherung mit a=-1
2.
a) $tan(0,5) = 26,57°$ ---> [mm] $2\alpha [/mm] = 26,57°$ [mm] $\alpha= [/mm] 53,13°$
[mm] $\begin{pmatrix}cos 53,13° & sin 53,13 \\sin 53,13° & -cos 53,13\end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0,6 & 0,8 \\0,8 & -0,6\end{pmatrix}
[/mm]
b) [mm] $D\phi$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix}cos\phi & -sin\phi \\sin\phi & cos\phi \end{pmatrix}$
[/mm]
$D_30$ = [mm] $\begin{pmatrix}cos 30° & -sin 30° \\sin 30° & cos 30° \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix}0,866 & -0,5° \\0,5 & 0,866 \end{pmatrix}$
[/mm]
c) $Z$ = [mm] $\begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k \end{pmatrix}$
[/mm]
k= -2 --> $Z$ = [mm] $\begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2 \end{pmatrix}$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Itse,
> 1. Welche Abbildungen werden durch die Matrizen A, B, C und
> D dargestellt?
>
> A = [mm]$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> B = [mm]$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> C = [mm]$\begin{pmatrix}
0,6 & 0,8 \\
0,8 & -0,6
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> D = [mm]$\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$[/mm]
>
>
> 2. Geben Sie die Abbildungsmatrix an für
>
> a) eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit der Steigung
> 0,5;
> b) eine Drehung um den Nullpunkt mit dem Drehwinkel 30°;
> c) eine zentrische Streckung vom Nullpunkt aus mit dem
> Streckungsfaktor -2.
> Hallo zusammen,
>
> hier meine Lösung, passt das so? Vielen Dank.
>
>
> 1.
>
> a) cos(0) = 90° -> 2[mm]\alpha=90°[/mm], [mm]\alpha = 45°[/mm], Spiegelung an
> der ersten Winkelhalbierenden
[mm] A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
= [mm] A = \begin{pmatrix} \cos (-90°) & - \sin (-90°)\\ \sin(-90°) & \cos(-90°) \end{pmatrix} [/mm]
Siehst du jetzt, was es ist?
>
>
>
> b) senkrechte Dehnung mit k=2
Genau. Eine Parallelstreckung mit dem Streckungsfaktor 2.
>
>
> c) cos(-0,6) = 126,87° -> 2[mm]\alpha=126,87°[/mm], [mm]\alpha = 63,43°[/mm]
> --> tan 63,43 = 2, Steigung m=2
>
> Spiegelung an g: [mm]\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> hierbei bin ich mir nicht sicher, bräuchte noch eine
> Erklärung dazu, wenn es stimmt.
Du hast richtig gesehen, dass es eine Spiegelung ist.
Zur Berechnung der Steigung der Spiegelungsachse:
$ [mm] \cos [/mm] (2 [mm] \alpha) [/mm] = 0,6 \ [mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \alpha [/mm] = 53,13° [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 26,57° $
$ [mm] \tan(26,57°) [/mm] = 0,5 $
>
>
> d) Scherung mit a=-1
Hier solltest du die Scherungsachse und den Scherungswinkel angeben.
>
>
>
> 2.
>
> a) [mm]tan(0,5) = 26,57°[/mm] ---> [mm]2\alpha = 26,57°[/mm] [mm]\alpha= 53,13°[/mm]
Vorsicht. Du verwechselst in der Schreibweise Tangenswert und Argument des Tangens. Es gilt:
$ [mm] \tan(26,57°) [/mm] = 0,5 $
also
$ [mm] \alpha [/mm] = 26,57° [mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \alpha [/mm] = 53,13 $
>
> [mm]\begin{pmatrix}cos 53,13° & sin 53,13 \\sin 53,13° & -cos 53,13\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}0,6 & 0,8 \\0,8 & -0,6\end{pmatrix}[/mm]
Das Ergebnis ist richtig. (Vgl 1c)
>
>
> b) [mm]D\phi[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}cos\phi & -sin\phi \\sin\phi & cos\phi \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]D_30[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}cos 30° & -sin 30° \\sin 30° & cos 30° \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}0,866 & -0,5° \\0,5 & 0,866 \end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> c) [mm]Z[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k \end{pmatrix}[/mm]
>
> k= -2 --> [mm]Z[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}-2 & 0 \\0 & -2 \end{pmatrix}[/mm]
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 02.06.2007 | | Autor: | itse |
hallo zusammen,
danke für die antwort. hier meine ergänzung. passt das nun so?
> > 1.
> >
> > a) cos(0) = 90° -> 2[mm]\alpha=90°[/mm], [mm]\alpha = 45°[/mm], Spiegelung an
> > der ersten Winkelhalbierenden
>
> [mm]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> = [mm]A = \begin{pmatrix} \cos (-90°) & - \sin (-90°)\\ \sin(-90°) & \cos(-90°) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Siehst du jetzt, was es ist?
vielleicht eine Spiegelung an der zweiten Achse?
> > c) cos(-0,6) = 126,87° -> 2[mm]\alpha=126,87°[/mm], [mm]\alpha = 63,43°[/mm]
> > --> tan 63,43 = 2, Steigung m=2
> >
> > Spiegelung an g: [mm]\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > hierbei bin ich mir nicht sicher, bräuchte noch eine
> > Erklärung dazu, wenn es stimmt.
>
> Du hast richtig gesehen, dass es eine Spiegelung ist.
> Zur Berechnung der Steigung der Spiegelungsachse:
>
> [mm]\cos (2 \alpha) = 0,6 \ \Rightarrow 2 \alpha = 53,13° \Rightarrow \alpha = 26,57°[/mm]
>
> [mm]\tan(26,57°) = 0,5[/mm]
sieht dann die Spiegelachse so aus: [mm] $g:\vec [/mm] x = [mm] \lambda \begin{pmatrix}0,5 \\2 \end{pmatrix}?
[/mm]
> > d) Scherung mit a=-1
>
> Hier solltest du die Scherungsachse und den Scherungswinkel
> angeben.
-cos(-1) = 90°, der Scherungswinkel beträgt 90 Grad somit ist die Scherungsachse die zweite.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:32 So 03.06.2007 | | Autor: | itse |
könnte es sich mal jemand anschauen, danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 So 03.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Itse,
> hallo zusammen,
>
> danke für die antwort. hier meine ergänzung. passt das nun
> so?
>
>
> > > 1.
> > >
> > > a) cos(0) = 90° -> 2[mm]\alpha=90°[/mm], [mm]\alpha = 45°[/mm], Spiegelung an
> > > der ersten Winkelhalbierenden
> >
> > [mm]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > = [mm]A = \begin{pmatrix} \cos (-90°) & - \sin (-90°)\\ \sin(-90°) & \cos(-90°) \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Siehst du jetzt, was es ist?
>
> vielleicht eine Spiegelung an der zweiten Achse?
Bei eine Spiegelung müsste das Minuszeichen bei [mm] b_2 [/mm] stehen, nicht bei [mm] b_1.
[/mm]
>
>
>
> > > c) cos(-0,6) = 126,87° -> 2[mm]\alpha=126,87°[/mm], [mm]\alpha = 63,43°[/mm]
> > > --> tan 63,43 = 2, Steigung m=2
> > >
> > > Spiegelung an g: [mm]\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > hierbei bin ich mir nicht sicher, bräuchte noch eine
> > > Erklärung dazu, wenn es stimmt.
> >
> > Du hast richtig gesehen, dass es eine Spiegelung ist.
> > Zur Berechnung der Steigung der Spiegelungsachse:
> >
> > [mm]\cos (2 \alpha) = 0,6 \ \Rightarrow 2 \alpha = 53,13° \Rightarrow \alpha = 26,57°[/mm]
>
> >
> > [mm]\tan(26,57°) = 0,5[/mm]
>
> sieht dann die Spiegelachse so aus: [mm]$g:\vec[/mm] x = [mm]\lambda \begin{pmatrix}0,5 \\2 \end{pmatrix}?[/mm]
>
Wie kommst du an diese Gerade? Die Steigung soll doch 0,5 sein. also:
$ [mm] g:\vec [/mm] x = [mm] \lambda \begin{pmatrix}1 \\0,5 \end{pmatrix}? [/mm] $
>
>
> > > d) Scherung mit a=-1
> >
> > Hier solltest du die Scherungsachse und den Scherungswinkel
> > angeben.
>
> -cos(-1) = 90°, der Scherungswinkel beträgt 90 Grad somit
> ist die Scherungsachse die zweite.
Das ist leider falsch.
Die Scherungsachse ist die [mm] x_1-Achse, [/mm] denn jeder Punkt der [mm] x_1-Achse [/mm] wird auf sich selbst abgebildet. Prüf's bitte nach.
Für den Scherungswinkel [mm] \alpha [/mm] gilt:
$ [mm] \tan(\alpha) [/mm] = -1 $
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 So 03.06.2007 | | Autor: | itse |
> > > > 1.
> > > >
> > > > a) cos(0) = 90° -> 2[mm]\alpha=90°[/mm], [mm]\alpha = 45°[/mm], Spiegelung an
> > > > der ersten Winkelhalbierenden
> > >
> > > [mm]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> > >
>
> > > = [mm]A = \begin{pmatrix} \cos (-90°) & - \sin (-90°)\\ \sin(-90°) & \cos(-90°) \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Siehst du jetzt, was es ist?
> >
> > vielleicht eine Spiegelung an der zweiten Achse?
>
> Bei eine Spiegelung müsste das Minuszeichen bei [mm]b_2[/mm] stehen,
> nicht bei [mm]b_1.[/mm]
Dann müsste es eine Drehung um 45° sein?
> > > > c) cos(-0,6) = 126,87° -> 2[mm]\alpha=126,87°[/mm], [mm]\alpha = 63,43°[/mm]
> > > > --> tan 63,43 = 2, Steigung m=2
> > > >
> > > > Spiegelung an g: [mm]\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > hierbei bin ich mir nicht sicher, bräuchte noch eine
> > > > Erklärung dazu, wenn es stimmt.
> > >
> > > Du hast richtig gesehen, dass es eine Spiegelung ist.
> > > Zur Berechnung der Steigung der Spiegelungsachse:
> > >
> > > [mm]\cos (2 \alpha) = 0,6 \ \Rightarrow 2 \alpha = 53,13° \Rightarrow \alpha = 26,57°[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\tan(26,57°) = 0,5[/mm]
> >
> > sieht dann die Spiegelachse so aus: [mm]$g:\vec[/mm] x = [mm]\lambda \begin{pmatrix}0,5 \\2 \end{pmatrix}?[/mm]
>
> >
> Wie kommst du an diese Gerade? Die Steigung soll doch 0,5
> sein. also:
>
> [mm]g:\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\0,5 \end{pmatrix}?[/mm]
da hast du Recht, die Steigung ist m= 0,5, somit gilt die Gerade. Ich war nur etwas irritiert, weil in meinem Buch die gleiche Aufgabe als Beispiel aufgeführt ist und dort kommt [mm] $g:\vec [/mm] x = [mm] \lambda \begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}$ [/mm] raus. ist nun aber klar, die finden es halt schöner wenn 1 da steht und nicht 0,5. ist ja genauso richtig.
> > > > d) Scherung mit a=-1
> > >
> > > Hier solltest du die Scherungsachse und den Scherungswinkel
> > > angeben.
> >
> > -cos(-1) = 90°, der Scherungswinkel beträgt 90 Grad somit
> > ist die Scherungsachse die zweite.
>
> Das ist leider falsch.
>
> Die Scherungsachse ist die [mm]x_1-Achse,[/mm] denn jeder Punkt der
> [mm]x_1-Achse[/mm] wird auf sich selbst abgebildet. Prüf's bitte
> nach.
> Für den Scherungswinkel [mm]\alpha[/mm] gilt:
>
> [mm]\tan(\alpha) = -1[/mm]
Okay, hab es überprüft, wenn man mit den Koordinateneinheitsvekoren argumentiert, bleibt [mm] $\vec e_1 [/mm] = [mm] \vec e_1'$ [/mm] und [mm] $\vec e_2' [/mm] = [mm] \vec e_2 [/mm] + a * [mm] \vec e_1$, [/mm] also gilt die Abbildungsmatrix [mm] $\begin{pmatrix}1 & a \\0 & 1\end{pmatrix}$ [/mm] der scherungswinkel müsste 45° betragen -> [mm] $\sin 2\alpha [/mm] = -1$. ist dann die scherungsachse die winkelhalbierende?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 03.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Itse,
> > > > > 1.
> > > > >
> > > > > a) cos(0) = 90° -> 2[mm]\alpha=90°[/mm], [mm]\alpha = 45°[/mm], Spiegelung an
> > > > > der ersten Winkelhalbierenden
> > > >
> > > > [mm]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > = [mm]A = \begin{pmatrix} \cos (-90°) & - \sin (-90°)\\ \sin(-90°) & \cos(-90°) \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Siehst du jetzt, was es ist?
> > >
> > > vielleicht eine Spiegelung an der zweiten Achse?
> >
> > Bei eine Spiegelung müsste das Minuszeichen bei [mm]b_2[/mm] stehen,
> > nicht bei [mm]b_1.[/mm]
>
>
> Dann müsste es eine Drehung um 45° sein?
Es ist eine Drehung, aber eine Rechtsdrehung um 90°. Zeichne doch mal für einige Punkte die Bildpunkte in ein Koordinatensystem. Dann wird vieles klarer.
>
>
>
> > > > > c) cos(-0,6) = 126,87° -> 2[mm]\alpha=126,87°[/mm], [mm]\alpha = 63,43°[/mm]
> > > > > --> tan 63,43 = 2, Steigung m=2
> > > > >
> > > > > Spiegelung an g: [mm]\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > hierbei bin ich mir nicht sicher, bräuchte noch eine
> > > > > Erklärung dazu, wenn es stimmt.
> > > >
> > > > Du hast richtig gesehen, dass es eine Spiegelung ist.
> > > > Zur Berechnung der Steigung der
> Spiegelungsachse:
> > > >
> > > > [mm]\cos (2 \alpha) = 0,6 \ \Rightarrow 2 \alpha = 53,13° \Rightarrow \alpha = 26,57°[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\tan(26,57°) = 0,5[/mm]
> > >
> > > sieht dann die Spiegelachse so aus: [mm]$g:\vec[/mm] x = [mm]\lambda \begin{pmatrix}0,5 \\2 \end{pmatrix}?[/mm]
>
> >
> > >
> > Wie kommst du an diese Gerade? Die Steigung soll doch 0,5
> > sein. also:
> >
> > [mm]g:\vec x = \lambda \begin{pmatrix}1 \\0,5 \end{pmatrix}?[/mm]
>
>
> da hast du Recht, die Steigung ist m= 0,5, somit gilt die
> Gerade. Ich war nur etwas irritiert, weil in meinem Buch
> die gleiche Aufgabe als Beispiel aufgeführt ist und dort
> kommt [mm]g:\vec x = \lambda \begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}[/mm]
> raus. ist nun aber klar, die finden es halt schöner wenn 1
> da steht und nicht 0,5. ist ja genauso richtig.
Genau. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
>
>
> > > > > d) Scherung mit a=-1
> > > >
> > > > Hier solltest du die Scherungsachse und den Scherungswinkel
> > > > angeben.
> > >
> > > -cos(-1) = 90°, der Scherungswinkel beträgt 90 Grad somit
> > > ist die Scherungsachse die zweite.
> >
> > Das ist leider falsch.
> >
> > Die Scherungsachse ist die [mm]x_1-Achse,[/mm] denn jeder Punkt der
> > [mm]x_1-Achse[/mm] wird auf sich selbst abgebildet. Prüf's bitte
> > nach.
> > Für den Scherungswinkel [mm]\alpha[/mm] gilt:
> >
> > [mm]\tan(\alpha) = -1[/mm]
>
> Okay, hab es überprüft, wenn man mit den
> Koordinateneinheitsvekoren argumentiert, bleibt [mm]\vec e_1 = \vec e_1'[/mm]
> und [mm]\vec e_2' = \vec e_2 + a * \vec e_1[/mm], also gilt die
> Abbildungsmatrix [mm]\begin{pmatrix}1 & a \\0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> der scherungswinkel müsste 45° betragen -> [mm]\sin 2\alpha = -1[/mm].
> ist dann die scherungsachse die winkelhalbierende?
Das verstehe ich nicht.
Das Bild des Punktes P(a;b) ist doch P'(a-b;b). Mach dir eine Zeichnung. Das hilft.
Damit ist die [mm] x_1-Achse [/mm] die Scherungsachse und der Scherungswinkel beträgt $ [mm] \alpha [/mm] = -45° $
Gruß
Sigrid
>
>
|
|
|
|
