Abbildungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Ernesto |
Halli Hallo .. kann mir jemand sagen wie ich die Matrix der Abbildung berechne die einer reellen 2 x 2 Matrix ihre Transponierte zuordnet.. die Dimension ist [mm] n^2 [/mm] also 4 und die Definition der Darstellungsmatrix kenne ich auch. Wir nehmen als Basis die kanonische Basis das [mm] R^2. [/mm] Wäre sehr dankbar .. Gruß Thomas
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Hallo!
Ich bin der Meinung, daß das gar nicht klappen kann.
Du suchst also w, x, y, z, sodaß gilt:
[mm] $\pmat{ \red w & \red x \\ y & z } \pmat{ a & \red b \\ c & \red d }=\pmat{ a & \red c \\ b & d }$
[/mm]
Das c aus der letzten Matrix berechnet sich aus der ersten zeile der ersten Matrix und der zweiten Spalte der zweiten. Darin kommt das c aber niemals vor...
Wenn es eine solche Abbildungsmatrix gibt, dann funktioniert die sicherlich nur mit bestimmten anderen Matrizen, und das widerspricht eigentlich dem Sinn des ganzen...
EDIT: OK, das war dann ein Irrtum von mir. Hatte mich zusehr auf 2x2 konzentriert
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Hallo Ernesto,hallo Event_Horizon
ich bin anderer Meinung 
ich denke, dass es eine Darstellungsmatrix gibt, denn:
Nenn wir die lineare Abbildung F, die Standardbasis ist [mm] B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
F bildet jede Matrix der Basis auf ihre Transponierte ab, also
[mm] f\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\right)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=\red{1}\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+\red{0}\cdot\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+\red{0}\cdot\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+\red{0}\cdot\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Also ist die erste Spalte der Darstellungmatrix [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Die anderen Spalten lassen sich analog berechnen - ich habe als Darstellungsmatrix raus:
[mm] M^B_B(F)=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Was meint ihr?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Sa 24.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo ,
da der Vektorraum der reellen 2 X 2 Matrizen isomorph zum [mm] \IR^4 [/mm] ist , ist die von schachuzipus berechnete Darstellungsmatrix die gesuchte Matrix. (Denn eine lineare Abbildung ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig festgelegt)
MfG
Heiko
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:48 Sa 24.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe folgenden Ansatz. Ich gehe von den Matrizen aus, wie bei Event_Horizon definiert.
Ausmultipliziert ergeben sich folgende Gleichungen
w*a+x*c=a
w*b+x*d=c
y*a+z*c=b
y*b+z*d=d
Also kann man das in der Form schreiben
[mm] \pmat{ a & c & 0 & 0 \\ b & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & c \\ 0 & 0 & b & d }*\vektor{w \\ x \\ y \\ z }=\vektor{a \\ c \\ b \\ d }
[/mm]
Lösen des Gleichungssystems führt zu den Lösungen
[mm] w=\br{ad-c^2}{ad-cb}
[/mm]
[mm] x=\br{ac-ab}{ad-cb}
[/mm]
[mm] y=\br{db-dc}{ad-cb}
[/mm]
[mm] z=\br{ad-b^2}{ad-cb}
[/mm]
Das Ganze gilt allerdings nur, wenn [mm] ad-bc\ne0.
[/mm]
mfg ullim
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Hallo ullim,
eine Frage hab ich hier:
Die Abbildung F: [mm] M_2(\IR)\rightarrow M_2(\IR) [/mm] ist ja eine lineare Abbildung.
Die Standardbasis vom [mm] M_2(\IR) [/mm] ist wie in meinem obigen post, oder?
Dann MUSS es doch eine eindeutige, F bzgl. der Standardbasis darstellende Matrix [mm] M^B_B(F) \in M_4(\IR) [/mm] geben, oder habe ich in meiner VL etwas verpasst?
(Das wäre zwar nicht unwahrscheinlich, aber.. )
Außerdem kann man doch JEDE (2x2)-Matrix transponieren,oder nicht?
Dann hätte man mit meiner Methode auch keine Einschränkung.
Ich glaube, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch :-(
Was meinst du?
Lieben Gruß
schachuzipus
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> Ich glaube, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch :-(
Hallo,
nein, bei Dir ist die Leitung völlig frei.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:10 So 25.02.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hi,
> ich habe folgenden Ansatz. Ich gehe von den Matrizen aus, wie bei > Event_Horizon definiert.
Hallo,
hier liegt der Knackpunkt: was Event_Horizon schrieb, ist ja nicht richtig, denn die Dimension des VRs der 2x2-Matrizen ist 4 und nicht =2.
Daher muß es sich bei der infrage kommenden Matrix, wie von schachuzipus ausgeführt, um eine 4x4 Matrix handeln.
> [mm] w=\br{ad-c^2}{ad-cb}
[/mm]
> [mm] x=\br{ac-ab}{ad-cb}
[/mm]
> [mm] y=\br{db-dc}{ad-cb}
[/mm]
> [mm] z=\br{ad-b^2}{ad-cb}
[/mm]
> Das Ganze gilt allerdings nur, wenn [mm] ad-bc\ne0.
[/mm]
Ich habe es jetzt nicht nachgerechnet, aber was Du gerechnet hast, wird vermutlich stimmen.
Was tut [mm] \pmat{ w & x \\ y & z }?
[/mm]
Sie transponiert eine vorgegebene Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }.
[/mm]
Was soll die gesuchte Matrix tun?
Sie soll jede Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] transponieren.
Gruß v. Angela
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