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| Aufgabe | Sei I eine Menge und K ein Körper. Sei V die Menge aller Abbildungen von I in K.
Sei [mm] U=\{f | f \in V, \{i | i \in I, f(i) \not=0\} ist endlich \}
Dann ist U ein Unterraum von V. Für i \in I definiere f_{i} durch:
f_{i}(i) =1, f_{i}(j) =0, fuer j \in I \backslash \{i\}
Zeige, dass B=\{ f_{i} | i\in I\} eine Basis von U ist. [/mm] |
Schönen Abend.
Ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Kann mir bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andrej!
Einfach nur zu schreiben "ich komme mit der Aufgabe nicht klar" ist nicht sonderlich hilfreich. Du kannst doch wenigstens mal versuchen diese (wirklich einfache) Aufgabe zu lösen. Hast du mal einen Blick in die Forenregeln geworfen?
Naja:
Also: Natürlich liegt die Nullfunktion in $U$.
Weiterhin gilt für $f,g [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $\lambda,\mu \in [/mm] K$:
[mm] $\{i \in I\, : \, \lambda f(i) + \mu g(i) \ne 0\} \subset \{i \in I \, : \, f(i) \ne 0\} \cup \{i \in I\, : \, g(i) \ne 0\}$,
[/mm]
und Teilmengen endlicher Mengen sind ebenso endlich wie endliche Vereinigungen endlicher Mengen.
Weiterhin gilt natürlich für $f [mm] \in [/mm] U$:
$f = [mm] \sum\limits_{i \in I} [/mm] f(i) [mm] \cdot f_i$,
[/mm]
und die Summe ist endlich nach der Definition von $U$. Daher handelt es sich um ein Erzeugendensystem.
Versuche die lineare Unabhängigkeit jetzt mal selber zu zeigen.
Tipp: Werte die Linearkombinationen von Funktionen, die ja gleich der Nullfunktion sein sollen, an geeigneten Stellen aus.
Liebe Grüße
Stefan
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