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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Summmsel |
| Aufgabe | Sei M = [mm] Abb(\IN;\IN) [/mm] die Menge aller Abbildungen der natürlichen Zahlen [mm] \IN [/mm] auf sich, mit der Komposition [mm] \circ [/mm] : M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M. Wir betrachten folgende Abbildungen
in M:
[mm] id\IN [/mm] : [mm] \IN \to \IN; id\IN(n) [/mm] = n für alle n [mm] \in \IN;
[/mm]
f [mm] :\IN \to \IN; [/mm] f(n) = n + 1 für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
(a) Gibt es eine Abbildung g [mm] \in [/mm] M mit f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id\IN?
[/mm]
(b) Gibt es eine Abbildung g [mm] \in [/mm] M mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id\IN?
[/mm]
(c) Gibt es ein neutrales Element in M bezüglich [mm] \circ? [/mm] Und wenn ja, besitzt f ein inverses Element
bezüglich [mm] \circ? [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage bezieht sich generell nur auf a und b. Ich habe grundsätzlich keine Ahnung wie ich an die Aufgabe herangehen soll, deshalb wäre es sehr nett, falls jemand mir exemplarisch entweder a oder b lösen könnte, oder mir sagen könnte was ich im im Einzelnen beweisen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu (a): eine solche Abb. gibt es nicht:
Nimm an, solch ein g wäre vorhanden. Dann hätten wir:
f(g(n))=n für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Insbesondere: f(g(1))=1. Die Funktion f nimmt also den Wert 1 an. Es ist aber f(n)=n+1 [mm] \ge [/mm] 1+1=2 für jedes n.
FRED
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